Question

【題目】問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，∠C=90°，分別以AC，BC為邊向外側(cè)作正方形ACDE和正方形BCFG．

（1）△ABC和△DCF面積的關(guān)系是______________；（請(qǐng)?jiān)跈M線上填寫“相等”或“不等”）

（2）拓展探究：若∠C≠90°，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)結(jié)合圖2給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；

（3）解決問題：如圖3，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，且AC與BD的和為10，分別以四邊形ABCD的四條邊為邊向外側(cè)作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CDJI，正方形DALK，運(yùn)用（2）的結(jié)論，圖中陰影部分的面積和是否有最大值？如果有，請(qǐng)求出最大值，如果沒有，請(qǐng)說明理由．

圖1

圖2

圖3

Answer 1

【答案】（1）相等；（2）成立，理由見解析；（3）陰影部分的面積和有最大值,最大值為25

【解析】解：（1）相等；

（2）成立；理由如下：

如圖，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AP⊥BP于點(diǎn)P；過點(diǎn)D作DQ⊥FC于點(diǎn)Q．

∴∠APC=∠DQC=90°．

∵四邊形ACDE、四邊形BCFG均為正方形，

∴AC=CD，BC=CF，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，

∴∠ACP=∠DCQ．

∴△APC≌△DQC（AAS），

∴AP=DQ．

又∵S△ABC=BCAP，S△DFC =FCDQ，

∴S△ABC=S△DFC.

（3）圖中陰影部分的面積和有最大值

理由：由（2）的結(jié)論可知：

設(shè)AC=m,則BD=10-m, ∵AC⊥BD.

∴.

∴

∴陰影部分的面積和有最大值,最大值為25