Question

若關(guān)于x的方程（6-k）（9-k）x²-（117-15k）x+54=0的解都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù)時(shí)k的值有    個(gè)．

Answer 1

【答案】分析：用因式分解法可得到根的簡(jiǎn)單表達(dá)式，因方程的類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定的值才能全面而準(zhǔn)確．
解答：解：①當(dāng)6-k=0，即k=6時(shí)，則原方程為-（117-15×6）x+54=0，解得x=2；
②當(dāng)9-k=0，即k=9時(shí)，則原方程為-（117-15×9）x+54=0，解得x=-3；
③當(dāng)6-k≠0、9-k≠0時(shí)，即k≠6且k≠9時(shí)，
x₁=，x₂=；
①當(dāng)6-k=±1，±3，±9時(shí)，x是整數(shù)，此時(shí)k=7、5、3、15、-3；
③當(dāng)9-k=±1、±2、±3、±6時(shí)，x是整數(shù)，此時(shí)k=10、8、11、7、12、15、3．
綜合①②知，k=3、15、6、7、9時(shí)，原方程的解為整數(shù)．
故答案為：5．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次方程的整數(shù)根與有理根．在解答此類題目時(shí)，系數(shù)含參數(shù)的方程問題，在沒有指明是二次方程時(shí)，要注意有可能是一次方程，根據(jù)問題的題設(shè)條件，看是否要分類討論．