Question

【題目】如圖1，一條拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，且當x=﹣1和x=3時，y的值相等，直線與拋物線有兩個交點，其中一個交點的橫坐標是6，另一個交點是這條拋物線的頂點M．

（1）求這條拋物線的表達式．
（2）動點P從原點O出發(fā)，在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點B運動，同時點Q從點B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個單位長度的速度向點C運動，當一個點到達終點時，另一個點立即停止運動，設(shè)運動時間為t秒．
①若使△BPQ為直角三角形，請求出所有符合條件的t值；
②求t為何值時，四邊形ACQP的面積有最小值，最小值是多少？
（3）如圖2，當動點P運動到OB的中點時，過點P作PD⊥x軸，交拋物線于點D，連接OD，OM，MD得△ODM，將△OPD沿x軸向左平移m個單位長度（0＜m＜2），將平移后的三角形與△ODM重疊部分的面積記為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵當x=﹣1和x=3時，y的值相等，

∴拋物線的對稱軸為直線x=1，把x=1和x=6分別代入中，得頂點M（1，﹣），另一個交點坐標為（6，6），

則可設(shè)拋物線的表達式為y=a（x﹣1）2﹣，將（6，6）代入其中，解得a=，

∴拋物線的表達式為y=，即 y=

（2）

解：如下圖：

當y=0時，=0． 解得：x1=﹣2，x2=4．

由題意可知：A（ 2，0），B（4，0），

所以O(shè)A=2，OB=4；

當x=0時，y=﹣3，

所以點C（0，﹣3），OC=3，

由勾股定理知BC=5，

OP=1×t=t，BQ=2×t=2t，

①∵∠PBQ是銳角，

∴有∠PQB=90°或∠BPQ=90°兩種情況：當∠PQB=90°時，可得△PQB∽△COB，

∴，

∴，

∴t=；

當∠BPQ=90°時，可得△BPQ∽△BOC，

∴，

∴，

∴t=；

由題意知0≤t≤2.5，

∴當t=或t=時，以B，P，Q為頂點的三角形是直角三角形…7分

②過點Q作QG⊥AB于G，

∴△BGQ∽△BOC，

∴，

∴，

∴GQ=，

∴S四邊形ACQP=S△ABC﹣S△BPQ=﹣=

=9．

∵＞0，

∴四邊形ACQP的面積有最小值，

又∵t=2 滿足0≤t≤2.5，

∴當t=2時，四邊形ACQP的面積最小，最小值是；

（3）

解：如下圖，

由OB=4得OP=2，把 x=2代入y=中，得y=﹣3，

所以D（2，﹣3），

直線CD∥x軸，

設(shè)直線OD的解析式為y=k1x，

則k1=﹣，所以y=﹣x，

因為△P1O1D1是由△POD 沿x軸 向左平移m個單位得到的，所以P1（2﹣m，0），D1（2﹣m，﹣3），E（2﹣m，﹣3+ ）

設(shè)直線OM的解析式為y=k2x，

則k2=﹣，

所以y=﹣．

①當0時，作FH⊥軸于點H，由題意O1（﹣m，0），

又∵O1D1∥OD，

∴直線O1D1的解析式為y=﹣．

聯(lián)立方程組，

解得，

所以F（，），

所以FH=，

=﹣﹣==3m﹣．

如下圖，

當時，設(shè)D1P1交OM于點F，直線OM的解析式為y=﹣，

所以F（2﹣m，﹣），

所以EF=，

∴S△OEF=

綜上所述，S=．

【解析】（1）因為當x=﹣1和x=3時，y的值相等，所以拋物線的對稱軸為直線x=1，將x=1和x=6分別代入中，可求得拋物線的頂點坐標和與直線另一交點的坐標，然后設(shè)出拋物線的頂點式，最后將（6，6）代入即可求得拋物線的解析式；
（2）①先求得A（ 2，0），B（4，0），C（0，﹣3），從而可得到OA=2，OB=4；OC=3，由勾股定理知BC=5，有∠PQB=90°或∠BPQ=90°兩種情況：當∠PQB=90°時，可得△PQB∽△COB，當∠BPQ=90°時，可得△BPQ∽△BOC；②過點Q作QG⊥AB于G，能夠等到△BGQ∽△BOC，可求得GQ=然后S四邊形ACQP=S△ABC﹣S△BPQ=9-，從而可求得四邊形的面積的最值；
（3）先求得點D的坐標，然后根據(jù)平移與坐標變換的關(guān)系得出點P1（2﹣m，0），D1（2﹣m，﹣3），E（2﹣m，﹣3+ ），①當0時，作FH⊥軸于點H，S四邊形ACQP=S△ABC﹣S△BPQ；當時，設(shè)D1P1交OM于點F，S△OEF=．