【題目】如圖,正方形ABCD中,點(diǎn)E為AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合).將△EBC沿CE翻折至△EFC,延長EF交邊AD于點(diǎn)G.
(1)連結(jié)AF,若AF∥CE.證明:點(diǎn)E為AB的中點(diǎn);
(2)證明:GF=GD;
(3)若AD=5,設(shè)EB=x,GD=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)y=
【解析】
(1)由翻折的性質(zhì)可知,∠BEC=∠FEC,EB=EF,根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換可證得∠EAF=∠EFA,從而可得EA=EF,進(jìn)而可得結(jié)論;
(2)如圖所示,連接CG,由正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得DC=FC,∠GFC=∠D=90°,從而可利用HL證明Rt△GFC≌Rt△GDC,進(jìn)而可得結(jié)論;
(3)根據(jù)題意可用含x、y的代數(shù)式表示出AG,AE,GE,然后在Rt△AEG中由勾股定理即可得出結(jié)果.
解:(1)證明:由翻折的性質(zhì)可知,∠BEC=∠FEC,EB=EF,
∵AF∥CE,
∴∠BEC=∠EAF,∠FEC=∠EFA,
∴∠EAF=∠EFA,
∴EA=EF.
∴EA=EB,即點(diǎn)E為AB的中點(diǎn);
(2)證明:如圖所示,連接CG.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠D=∠B=90°,DC=BC,
由翻折的性質(zhì)可知:∠EFC=∠B=90°,BC=FC,
∴∠GFC=∠D=90°,FC=DC,
又∵CG=CG,
∴Rt△GFC≌Rt△GDC(HL),
∴GF=GD;
(3)∵AD=5,EB=x,GD=y,
∴AG=5﹣y,AE=5﹣x,GE=x+y,
則在Rt△AEG中,∵AG2+AE2=GE2,
∴(5﹣y)2+(5﹣x)2=(x+y)2,
整理,得:y=,
即y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AC是⊙O的直徑,點(diǎn)B在圓周上(不與A、C重合),點(diǎn)D在AC的延長線上,連接BD交⊙O于點(diǎn)E,若∠AOB=3∠ADB,則( )
A. DE=EB B. DE=EB C. DE=DO D. DE=OB
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某體育老師統(tǒng)計(jì)了七年級甲、乙兩個(gè)班女生的身高,并繪制了以下不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請根據(jù)圖中信息,解決下列問題:
(1)兩個(gè)班共有女生多少人?
(2)將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;
(3)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中部分所對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù);
(4)身高在的5人中,甲班有3人,乙班有2人,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取兩人補(bǔ)充到學(xué)校國旗隊(duì).請用列表法或畫樹狀圖法,求這兩人來自同一班級的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根,則方程的兩個(gè)根x1、x2和系數(shù)a、b、c有如下關(guān)系:,.我們把它們稱為根與系數(shù)關(guān)系定理.
如果設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1,0),B(x2,0).利用根與系數(shù)關(guān)系定理我們又可以得到A、B兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為:AB=====
請你參考以上定理和結(jié)論,解答下列問題:
設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1,0),B(x2,0),拋物線的頂點(diǎn)為C,顯然△ABC為等腰三角形.
(1)當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時(shí),直接寫出b2-4ac的值;
(2)當(dāng)△ABC為等腰三角形,且∠ACB=120°時(shí),直接寫出b2-4ac的值;
(3)設(shè)拋物線y=x2+mx+5與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B,頂點(diǎn)為C,且∠ACB=90°,試問如何平移此拋物線,才能使∠ACB=120°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,E為邊AD上的一點(diǎn),將△DEC沿CE折疊至△D′EC處,若∠B=48°,∠ECD=25°,則∠D′EA的度數(shù)為( 。
A.33°B.34°C.35°D.36°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn),與軸相交于點(diǎn).
(1)求的值和的值以及點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)觀察反比例函數(shù)的圖像,當(dāng)時(shí),請直接寫出自變量的取值范圍;
(3)以為邊作菱形,使點(diǎn)在軸正半軸上,點(diǎn)在第一象限,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(4)在y軸上是否存在點(diǎn),使的值最小?若存在,請求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若兩個(gè)一次函數(shù)的圖象與x軸交于同一點(diǎn),則稱這兩個(gè)函數(shù)為一對“x牽手函數(shù)”,這個(gè)交點(diǎn)為“x牽手點(diǎn)”.
(1)一次函數(shù)y=x﹣1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ;一次函數(shù)y=ax+2與一次函數(shù)y=x﹣1為一對“x牽手函數(shù)”,則a= ;
(2)已知一對“x牽手函數(shù)”:y=ax+1與y=bx﹣1,其中a,b為一元二次方程x2﹣kx+k﹣4=0的兩根,求它們的“x牽手點(diǎn)”.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,等邊△AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上.
(1)、求證:△ABE≌△ADF;
(2)、若等邊△AEF的周長為6,求正方形ABCD的邊長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,個(gè)邊長為1的等邊三角形,其中點(diǎn),,,,…在同一條直線上,若記的面積為,的面積為,的面積為,…,的面積為,則______.
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