Question

（2012•泉港區(qū)質(zhì)檢）如圖，A、B的坐標(biāo)分別為（8，4），（0，4）．點(diǎn)C從原點(diǎn)O出發(fā)以每秒1單位的速度沿著x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜5）．點(diǎn)D在x軸上，坐標(biāo)為（t+3，0），過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交AB于E點(diǎn)，交OA于G點(diǎn)，連接CE交OA于點(diǎn)F．
（1）填空：CD=

3

，CE=

5

，AE=

5-t

 （用含t的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)△EFG的面積為

12

5

時(shí)，點(diǎn)G恰好在函數(shù)y=

k

x

第一象限的圖象上．試求出函數(shù)y=

k

x

的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，2t），點(diǎn)P在（2）中的函數(shù)y=

k

x

的圖象上，是否存在以A、C、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，試求出點(diǎn)C、P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由OC=t，OD=t+3，即可求出CD的長(zhǎng)；先由矩形的性質(zhì)得出DE=4，然后在直角△CDE中，運(yùn)用勾股定理即可求出CE的長(zhǎng)；先由矩形的性質(zhì)得出BE=t+3，再由AB=8即可求出AE的長(zhǎng)；
（2）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥DE于H，則△EFG的面積=

1

2

EG•FH．先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線OA的解析式，再將G點(diǎn)的橫坐標(biāo)（與D點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等）代入，得到G點(diǎn)的縱坐標(biāo)，求出EG的長(zhǎng)；先由AE∥OC，得出△AEF∽△OCF，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出等式AE：OC=EF：CF，得出EF=5-t，再由正弦函數(shù)的定義得出FH=EF•sin∠CED=

3(5-t)

5

，然后根據(jù)△EFG的面積為

12

5

列出關(guān)于t的方程，解方程求出t的值，得到G點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2），則運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出過(guò)G點(diǎn)的反比例函數(shù)的解析式；
（3）當(dāng)以A、C、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，首先根據(jù)這四個(gè)點(diǎn)的位置及0＜t＜5，判斷平行四邊形可能是?APCQ或?APQC，再由平行四邊形的對(duì)角線互相平分的性質(zhì)得出兩對(duì)角線的中點(diǎn)重合．設(shè)P（x，

8

x

），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式列出關(guān)于x、t的方程組，解方程組即可．

解答：解：（1）∵由題意，可知OC=t，OD=t+3，
∴CD=OD-OC=t+3-t=3；
在直角△CDE中，∵∠CDE=90°，CD=3，DE=OB=4，
∴CE=

CD2+DE2

=5；
∵AB=8，BE=OD=t+3，
∴AE=AB-BE=8-（t+3）=5-t．
故答案為3，5，5-t；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥DE于H，則△EFG的面積=

1

2

EG•FH．
∵O（0，0），A（8，4），
∴直線OA的解析式為y=

1

2

x，
當(dāng)x=t+3時(shí)，y=

t+3

2

，∴G（t+3，

t+3

2

），
∴EG=DE-DG=4-

t+3

2

=

5-t

2

．
∵AE∥OC，
∴△AEF∽△OCF，
∴AE：OC=EF：CF，即（5-t）：t=EF：（5-EF），
解得EF=5-t，
∴FH=EF•sin∠CED=（5-t）×

3

5

=

3(5-t)

5

，
∴△EFG的面積=

1

2

EG•FH=

1

2

×

5-t

2

×

3(5-t)

5

=

3(5-t)2

20

，
∵△EFG的面積為

12

5

，
∴

3(5-t)2

20

=

12

5

，
解得t=1或9，
∵0＜t＜5，
∴t=1，
∴G（4，2）．
∵點(diǎn)G在函數(shù)y=

k

x

第一象限的圖象上，
∴k=4×2=8．
故所求函數(shù)的解析式為y=

8

x

；

（3）當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，2t），點(diǎn)P在（2）中的函數(shù)y=

k

x

的圖象上時(shí)，存在以A、C、Q、P為頂點(diǎn)的平行四邊形，理由如下：
分兩種情況：設(shè)P（x，

8

x

）．
①當(dāng)四邊形APCQ是平行四邊形時(shí)，則AC與PQ互相平分，即AC的中點(diǎn)與PQ的中點(diǎn)重合．
∵A（8，4），C（t，0），Q（0，2t），
∴

8+t 2 = x 2 4 2 = 8 x +2t 2

，
解得

x=5+ 21 t= 21 -3

，

x=5- 21 t=-3- 21

（舍去），
∴C（

21

-3，0），P（5+

21

，10-2

21

）．
②當(dāng)四邊形APQC是平行四邊形時(shí)，則AQ與CP互相平分，即AQ的中點(diǎn)與CP的中點(diǎn)重合．
∵A（8，4），C（t，0），Q（0，2t），
∴

8 2 = t+x 2 4+2t 2 = 8 x 2

，
解得

x=5+ 21 t=3- 21

（舍去），

x=5- 21 t=3+ 21

（舍去）．
綜上可知，所求C點(diǎn)的坐標(biāo)為（

21

-3，0），P點(diǎn)的坐標(biāo)為（5+

21

，10-2

21

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有矩形的性質(zhì)、函數(shù)解析式的求法、三角形的面積、平行四邊形的性質(zhì)等，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．