Question

已知：如圖，拋物線y=-

3

4

x2+3與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與直線y=-

3

4

x+b相交于點(diǎn)B，點(diǎn)C，直線y=-

3

4

x+b與y軸交于點(diǎn)E．
（1）求△ABC的面積；
（2）若點(diǎn)M在線段AB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從A向B運(yùn)動(dòng)（不與A，B重合），同時(shí)，點(diǎn)N在射線BC上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從B向C運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)寫出△MNB的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí)，△MNB的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）令y=0代入y=-

3

4

x²+3求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．把B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-

3

4

x+b求出BC的解析式，聯(lián)立方程組求出B．C的坐標(biāo)．求出AB，CD的長(zhǎng)后可求出三角形ABC的面積．
（2）過(guò)N點(diǎn)作NP⊥MB，證明△BNP∽△BEO，由已知令y=0求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用線段比求出NP，BE的長(zhǎng)．求出S與t的函數(shù)關(guān)系式后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值．

解答：解：（1）在y=-

3

4

x²+3中，令y=0，
∴-

3

4

x²+3=0，
∴x₁=2，x₂=-2，
∴A（-2，0），B（2，0），
又點(diǎn)B在y=-

3

4

x+b上
∴0=-

3

2

+b，b=

3

2

，
∴BC的解析式為y=-

3

4

x+

3

2

．
由

y=- 3 4 x2+3 y=- 3 4 x+ 3 2

，
得

x1=-1 y1= 9 4

，

x2=2 y2=0

．
∴C（-1，

9

4

），B（2，0），
∴AB=4，CD=

9

4

，
∴S△ABC=

1

2

×4×

9

4

=

9

2

．

（2）
過(guò)點(diǎn)N作NP⊥MB于點(diǎn)P
∵EO⊥MB，
∴NP∥EO，
∴△BNP∽△BEO，
∴

BN

BE

=

NP

EO

，
由直線y=-

3

4

x+

3

2

可得：E（0，

3

2

）
∴在△BEO中，BO=2，EO=

3

2

，則BE=

5

2

∴

2t

5 2

=

NP

3 2

，
∴NP=

6

5

t，
∴S=

1

2

×

6

5

t×（4-t）
=-

3

5

t²+

12

5

t
=-

3

5

（t-2）²+

12

5

，（0＜t＜4）
∵此拋物線開(kāi)口向下，
∴當(dāng)t=2時(shí)，S_最大=

12

5

，
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，△MNB的面積達(dá)到最大，最大為

12

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)圖象與應(yīng)用相結(jié)合的綜合題以及三角形面積的計(jì)算方法和相似三角形的判定與性質(zhì)，利用兩函數(shù)聯(lián)立得出B，C坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．