Question

如圖1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6. △ECD是△ABC沿CB方向平移得到的，連結(jié)AE，AC和BE相交于點(diǎn)O.

1.（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論；

【小題,2】（2）如圖2，P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接PO并延長(zhǎng)交線段AE于點(diǎn)Q，QR⊥BD，垂足為點(diǎn)R.

①四邊形PQED的面積是否隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積；

②當(dāng)線段BP的長(zhǎng)為何值時(shí)，以點(diǎn)P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？

 

Answer 1

 

1.（1）四邊形ABCE是菱形.

證明：∵ △ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，

∴ EC∥AB，EC＝AB.

∴ 四邊形ABCE是平行四邊形.

又∵ AB＝BC，

∴四邊形ABCE是菱形

2.（2）①四邊形PQED的面積不發(fā)生變化，理由如下：

由菱形的對(duì)稱性知，△PBO≌△QEO，

∴ S_△PBO＝ S_△QEO

∵ △ECD是由△ABC平移得到的，

∴ ED∥AC，ED＝AC＝6.

又∵ BE⊥AC，

∴BE⊥ED

∴S_{四邊形PQED}＝S_△QEO＋S_{四邊形POED}＝S_△PBO＋S_{四邊形POED}＝S_△BED

＝×BE×ED＝×8×6＝24.           ……………4分

 

 

②如圖，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，使以點(diǎn)P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形與△COB相似.

∵∠2是△OBP的外角，

∴∠2＞∠3.

∴∠2不與∠3對(duì)應(yīng) .

∴∠2與∠1對(duì)應(yīng) .

即∠2＝∠1，∴OP=OC=3 . 

過(guò)O作OG⊥BC于G，則G為PC的中點(diǎn) .

可證 △OGC∽△BOC .

∴ CG:CO＝CO:BC .

即 CG:3＝3:5 .

∴ CG= .

∴ PB＝BC－PC＝BC－2CG＝5－2×＝ .

∴ BD＝PB＋PR＋RF＋DF＝x＋＋x＋＝10.

∴ x＝                               

∴ BP＝.         

解析:略