Question

【題目】如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，連接CO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，且CF⊥AD

(1) 求證：E是OB的中點(diǎn)

(2) 若AB＝8，求CD的長(zhǎng)

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）4．

【解析】試題分析：（1）要證明：E是OB的中點(diǎn)，只要求證OE=OB=OC，即證明∠OCE=30°即可．

（2）在直角△OCE中，根據(jù)勾股定理就可以解得CE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CD的長(zhǎng)．

（1）證明：連接AC，如圖

∵直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，

∴，

∴AC=AD，

∵過(guò)圓心O的線CF⊥AD，

∴AF=DF，即CF是AD的中垂線，

∴AC=CD，

∴AC=AD=CD．

即：△ACD是等邊三角形，

∴∠FCD=30°，

在Rt△COE中，，

∴，

∴點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)；

（2）解：在Rt△OCE中，AB=8，

∴，

又∵BE=OE，

∴OE=2，

∴，

∴．