Question

已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時(shí)針排列），使∠DAF=60°，連接CF．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，試證：①△ABD≌△ACF；②AC=CF+CD；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，（1）中AC=CF+CD的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說明理由，若不成立，請(qǐng)寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)求得AF=AD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得∠BAD=∠CAF，即可求得△BAD≌△CAF，得出CF=BD即可求得AC=CF+CD．
（2）同（1）求得AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，然后根據(jù)三角形全等求得BD=CF，即可求得AC=CF-CD．
（3）解題思路同（1）、（2）．

解答：（1）證明：∵四邊形AFED是菱形，
∴AF=AD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，即∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF=BD，
∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，
∴AC=CF+CD．

（2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系是AC=CF-CD，
理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∴CF-CD=BD-CD=BC=AC，
即AC=CF-CD．


（3）AC=CD-CF．
證明：∵四邊形AFED是菱形，
∴AF=AD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，即∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF

，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF=BD，
∵BC=CD-BD，
∴BC=CD-CF．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．