Question

已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CE是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為D．
（1）求證：∠ACD=∠BCE；
（2）若AC=3cm，BC=6cm，sin∠ABC=

1

3

，求⊙O的面積．

Answer 1

分析：（1）連接BE，因為CE是直徑，所以△CEB是直角三角形，∠A與∠E相等，因為是同弧所對的圓周角，所以等角的余角相等；
（2）在Rt△BCD中，先利用∠ABC的正弦求出CD，再根據(jù)∠ACD=∠BCE，它們的余弦值也相等求出CE的長，面積即可求出．

解答：（1）證明：連接BE，則∠A=∠E，
∵CE是⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴∠CBE=∠CDA=90°．
∴∠ACD=∠BCE．

（2）解：∵sin∠ABC=

CD

BC

=

1

3

，BC=6cm，
∴CD=2cm．
又∵cos∠ACD=

CD

AC

=

2

3

，
∴cos∠BCE=

BC

CE

=

2

3

．
∴CE=

3

2

BC=9cm．
所以S_⊙O=π(

9

2

)²=20.25πcm²．

點評：本題重點考查了同弧所對的圓周角相等、直徑所對的圓周角為直角及解直角三角形的知識．
利用好角的三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．