Question

13．如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求證：CD²=CA•CB；
（2）求證：CD是⊙O的切線；
（3）過點B作⊙O的切線BE交CD的延長線于點E，若BC=12，CA=4，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）易證△CDA∽△CBD，由相似三角形的對應邊成比例來證得結論；
（2）連結OD，則∠ADO=∠BAD，由圓周角定理得出∠BDA=90°，∠CBD+∠BAD=90°，由∠CDA=∠CBD，得出∠CDA+∠ADO=90°=∠CDO，即可得出結論；
（3）證明△CDO∽△CBE，得出$\frac{CD}{CB}=\frac{OD}{BE}$，由已知求出AB=8，OA=OD=4，OC=8，由勾股定理求得CD的長，代入比例式即可得出結果．

解答 （1）證明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△DBC，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{CA}{CD}$，∴CD²=CA•CB
（2）證明：連結OD，如圖所示：
則∠ADO=∠BAD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BDA=90°，
∴∠CBD+∠BAD=90°，
∵∠CDA=∠CBD，
∴∠CDA+∠ADO=90°=∠CDO，
∴CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切線；
（3）解：∵BE是⊙O的切線，
∴∠CBE=90°，
由（2）知∠CDO=90°，
∴∠CDO=∠CBE，
又∵∠C=∠C，
∴△CDO∽△CBE，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{OD}{BE}$，
∵BC=12，CA=4，
∴AB=8，
∴OA=OD=4，
∴OC=CA+OA=8，
在Rt△CDO中，CD=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴$\frac{{4\sqrt{3}}}{12}=\frac{4}{BE}$，
解得：BE=$4\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的判定與性質、相似三角形的判定與性質、圓周角定理、勾股定理等知識；熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．