【題目】已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A(3,0),B(1,0)兩點(如圖1),頂點為M.

(1)a、b的值;

(2)設(shè)拋物線與y軸的交點為Q(如圖1),直線y=2x+9與直線OM交于點D. 現(xiàn)將拋物線平移,保持頂點在直線OD.當(dāng)拋物線的頂點平移到D點時,Q點移至N點,求拋物線上的兩點M、Q間所夾的曲線MQ掃過的區(qū)域的面積;

(3)設(shè)直線y=2x+9y軸交于點C,與直線OM交于點D(如圖2).現(xiàn)將拋物線平移,保持頂點在直線OD.若平移的拋物線與射線CD(含端點C)沒有公共點時,試探求其頂點的橫坐標h的取值范圍.

【答案】1a=1b=4;(2MQ掃過的面積為;(3

【解析】

1)將AB兩點的坐標代入拋物線的解析式中,即可求出待定系數(shù)的值.

2)連接MQ、DN后,由圖可以發(fā)現(xiàn)曲線MQ掃過的面積正好是MQND的面積;連接QD,則MQND的面積是兩倍的△MQD的面積,所以這道題實際求的是△MQD的面積;由(1)的拋物線解析式,不難求出頂點M的坐標,聯(lián)立直線OM和直線CD的解析式可以求出點D的坐標;以OQ為底,M、D兩點的橫坐標差的絕對值為高即可得△MQD的面積,則此題可求.

3)在平移過程中,拋物線的開口方向和大小是不變的,即二次項系數(shù)不變;拋物線的頂點始終在直線OM上,根據(jù)直線OM的解析式(y=x)可表達出拋物線頂點的坐標(hh),可據(jù)此先設(shè)出平移后的拋物線解析式;若求平移的拋物線與射線CD(含端點C)沒有公共點時頂點橫坐標的取值范圍,那么就要考慮到兩個關(guān)鍵位置:

①拋物線對稱軸右側(cè)部分經(jīng)過C點時,拋物線頂點橫坐標h的值;

②拋物線對稱軸左側(cè)部分與直線CD恰好有且只有一個交點時,h的值;

解:(1)將A-3,0),B-1,0)代入拋物線y=ax2+bx+3中,得:

,

解得:a=1b=4

2)連接MQ、QD、DN

由圖形平移的性質(zhì)知:QNMD,即四邊形MQND是平行四邊形;

由(1)知,拋物線的解析式:y=x2+4x+3=x+22-1,則點M-2,-1),

當(dāng)x=0時,y=3

Q0,3);

設(shè)直線OM的解析式為y=kx,

-2k=-1,

k=,

∴直線OMy=x,聯(lián)立直線y=-2x+9,得:

,

解得

D);

曲線QM掃過的區(qū)域的面積:S=SMQND=2SMQD

3)由于拋物線的頂點始終在y=x上,可設(shè)其坐標為(hh),設(shè)平移后的拋物線解析式為y=x-h2+h;

當(dāng)平移后拋物線對稱軸右側(cè)部分經(jīng)過點C09)時,有:

h2+h=9,解得:h=(依題意,舍去正值)

當(dāng)平移后的拋物線與直線y=-2x+9只有一個交點時,依題意:

,

消去y,得:x2-2h-2x+h2+h-9=0

則:△=2h-22-4h2+h-9=-10h+40=0,解得:h=4,

結(jié)合圖形,當(dāng)平移的拋物線與射線CD(含端點C)沒有公共點時,hh4

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的直徑,ACBD相交于點E,且DC2CECA

1)求證:BCCD;

2)分別延長AB,DC交于點P,若PBOB,CD2,求⊙O的半徑.

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【題目】定義:如果一個點能與另外兩個點構(gòu)成直角三角形,則稱這個點為另外兩個點的勾股點.如矩形OBCD中,點CO,B兩點的勾股點,已知OD4,DC上取點E,DE=8

1)如果點EO,B兩點的勾股點(點E不在點C, 試求OB的長;

2)如果OB=12,分別以OB,OD為坐標軸建立如圖2的直角坐標系,在x軸上取點F(5,0).在線段DC上取點P, 過點P的直線ly軸,交x軸于點Q.設(shè)DP=t

當(dāng)點PDE之間,以EF為直徑的圓與直線l相切,試求t的值;

當(dāng)直線l上恰好有2點是E,F兩點的勾股點時,試求相應(yīng)t的取值范圍.

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A. M B. N C. P D. Q

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【題目】為了解學(xué)生每天的睡眠情況,某初中學(xué)校從全校 800 名學(xué)生中隨機抽取了 40 名學(xué)生,調(diào)查了他們平均每天的睡眠時間(單位: h ,統(tǒng)計結(jié)果如下:

9,810.5,7,98,10,9.5,89,9.5,7.5,9.5,98.5,7.510,9.58,9

7,9.58.5,97,9,97.5,8.5,8.5,9,87.59.5,109.5,8.5,98,9.

在對這些數(shù)據(jù)整理后,繪制了如下的統(tǒng)計圖表:

睡眠時間分組統(tǒng)計表 睡眠時間分布情況

組別

睡眠時間分組

人數(shù)(頻數(shù))

1

7t8

m

2

8t9

11

3

9t10

n

4

10t11

4

請根據(jù)以上信息,解答下列問題:

1 m = , n = , a = , b =

2)抽取的這 40 名學(xué)生平均每天睡眠時間的中位數(shù)落在 組(填組別) ;

3)如果按照學(xué)校要求,學(xué)生平均每天的睡眠時間應(yīng)不少于 9 h,請估計該校學(xué)生中睡眠時間符合要求的人數(shù).

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