Question

【題目】將大小兩把含30°角的直角三角尺按如圖1 位置擺放，即大小直角三角尺的直角頂點(diǎn)C 重合，小三角尺的頂點(diǎn) D、E 分別在大三角尺的直角邊 AC、BC 上，此時(shí)小三角尺的斜邊 DE 恰好經(jīng)過(guò)大三角尺的重心G .已知A CDE 30°， AB 12 .

（1）求小三角尺的直角邊CD 的長(zhǎng)；

（2）將小三角尺繞點(diǎn)C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D第一次落在大三角尺的邊 AB 上時(shí)（如圖2），求點(diǎn) B 、 E 之間的距離；

（3）在小三角尺繞點(diǎn)C 旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)直線 DE 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 時(shí)，求BAE 的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）CD=4；（2）；（3）或

【解析】

(1)求出BC，AC,利用重心即可解答.

(2) 做CH⊥AB于H，根據(jù)條件求出AD，利用三角形相似即可解答.

(3)分類討論DE在AC下方和DE在AC上方時(shí)的情況，利用勾股定理即可解答.

解：（1）根據(jù)題意得BC=6，AC=6，

由重心性質(zhì)可得,

可得CD=4.

(2)做CH⊥AB于H，

可得BH=3，CH=3，AH=9，

∵CD=4，即DH==.

∴AD=9-.

∵∠ACD=∠BCE，，

所以△ACD∽△BCE，

所以，即BE=3-.

(3)①DE在AC下方時(shí)：△ACD∽△BCE，

得∠BED=∠ADC=∠DCE+∠CED，，

∴∠AEB=∠DCE=90°，設(shè)BE=x,AD=x,

在Rt△ABE中，，

可得x=4-2.

所以sin∠BAE==.

②DE在AC上方時(shí)，

同理，

∠BEC+∠DEC=∠D+∠DEC=90°，

∴∠AEB=90，

設(shè)BE=x,AD=x,AE=x-8,

在直角三角形ABE中，，

解得x=4+2,

所以sin∠BAE=.

故BAE 的正弦值.為或.