Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中， 已知矩形ABCD的兩個頂點B、C的坐標分別是B（1，0）、C（3，0）．直線AC與y軸交于點G（0，6）．動點P從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動．同時動點 Q從點C出發(fā)，沿線段CD向點D運動．點P、Q的運動速度均為每秒1個單位，運動時間為t秒．過點P作PE⊥AB交AC于點E．

（1）求直線AC的解析式；

（2）當t為何值時，△CQE的面積最大？最大值為多少？

（3）在動點P、Q運動的過程中，當t為何值時，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點H，使得以C、Q、E、H為頂點的四邊形是菱形？

Answer 1

（1）；（2）2，1；（3）或

【解析】

試題分析：（1）設直線AC的解析式為由圖象經(jīng)過G(0，6)、C（3，0）兩點根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

（2）先求得點A的坐標，由AP=CQ=t，可得點P（1，4-t）.將y=4–t代入中，得點E的橫坐標為x=. 即得點E到CD的距離為，再根據(jù)三角形的面積公式及二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

（3）過點E作FM∥DC，交AD于F，交BC于M．分當點H在點E的下方時，當點H在點E的上方時，根據(jù)菱形的性質(zhì)及勾股定理求解即可.

（1）設直線AC的解析式為

∵直線AC經(jīng)過G(0，6)、C（3，0）兩點，

∴ 解得 

∴直線AC的解析式為；

（2）在中，當x=1時，y=4. ∴A（1，4）.

∵AP=CQ=t，

∴點P（1，4-t）.

將y=4–t代入中，得點E的橫坐標為x=.

∴點E到CD的距離為.

∴S_△CQE===

∴當t=2時，S_△CQE最大，最大值為1；

（3）過點E作FM∥DC，交AD于F，交BC于M．

當點H在點E的下方時，連結(jié)CH.

∵，

∴.

∵，

∴.

∵四邊形CQEH為菱形，

∴.

在Rt△HMC中，由勾股定理得.

∴.

整理得.

解得，（舍）.

∴當時，以C，Q，E，H為頂點的四邊形是菱形.

當點H在點E的上方時，同理可得當時. 以C，Q，E，H為頂點的四邊形是菱形.

∴t的值是或.

考點：動點問題的綜合題

點評：此類問題是初中數(shù)學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.