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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知點A的坐標是(4,0),并且OA=OC=4OB,動點P在過A,B,C三點的拋物線上.

1)求拋物線的解析式;

2)在AC上方的拋物線上有一動點G,如圖,當點G運動到某位置時,以AGAO為鄰邊的平行四邊形第四個頂點恰好也在拋物線上,求出此時點G的坐標;

3)若拋物線上存在點P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形,直接寫出所有符合條件的點P的坐標.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2+3x+4;(2)點G的坐標為();(3)點P26)或(﹣2,﹣6).

【解析】

1)由點A的坐標及OA=OC=4OB,可得出點B,C的坐標, 根據點A,B,C的坐標,利用待定系數法即可求出拋物線的解析式;

2)由二次函數的解析式利用二次函數的性質可得出拋物線的對稱軸, AO的長度結合平行四邊形的性質可得出點G的橫坐標, 再利用二次函數圖象上點的坐標特征,即可求出點G的坐標;

3)設點P的坐標為(m,-m2+3m+4,結合點A,C的坐標可得出AP2,CP2,AC2的值, 分∠ACP=90°及∠PAC=90°兩種情況, 利用勾股定理即可得出關于m的一元二次方程,解之即可得出結論.

解:(1)∵點A的坐標是(4,0),

OA=4,

又∵OA=OC=4OB,

OA=OC=4,OB=1,

∴點C的坐標為(0,4),點B的坐標為(﹣1,0).

設拋物線的解析式為y=ax2+bx+ca≠0),

A4,0),B(﹣1,0),C0,4)代入y=ax2+bx+c,

,解得:,

∴拋物線的解析式為y=x2+3x+4,

2)∵拋物線的解析式為y=x2+3x+4,

∴拋物線的對稱軸為直線x=,

∵如圖1,動點GAC上方的拋物線上,且以AG,AO為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點H也在拋物線上,

GHAO,GH=AO=4,

∵點G,H都在拋物線上,

G,H關于直線x=對稱,

∴點G的橫坐標為,

∵當x=時,y=x2+3x+4=,

∴點G的坐標為(,).

3)假設存在,設點P的坐標為(m,-m2+3m+4,

∵點A的坐標為(4,0,C的坐標為(0,4,

AP2=m-42+-m2+3m+4-02=m4-6m3+2m2+16m+32,

CP2=m-02+-m2+3m+4-42=m4-6m3+10m2,AC2=0-42+4-02=32,

分兩種情況考慮,如圖2所示,

①當∠ACP=90°,AP2=CP2+AC2,

m4-6m3+2m2+16m+32=m4-6m3+10m2+32, 整理得:m2-2m=0,

解得:m1=0(舍去),m2=2,

∴點P的坐標為(2,6;

整理得:m2-2m-8=0,解得:m3=-2,m4=4(舍去),

∴點P的坐標為(-2,-6).

綜上所述,假設成立,拋物線上存在點P2,6)或(﹣2,6,使得ACP是以為直角邊的直角三角形.

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