Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），并且OA=OC=4OB，動(dòng)點(diǎn)P在過A，B，C三點(diǎn)的拋物線上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在AC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)G，如圖，當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到某位置時(shí)，以AG，AO為鄰邊的平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)恰好也在拋物線上，求出此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）若拋物線上存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4；（2）點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，）；（3）點(diǎn)P（2，6）或（﹣2，﹣6）．

【解析】

（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)及OA=OC=4OB,可得出點(diǎn)B,C的坐標(biāo), 根據(jù)點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;

（2）由二次函數(shù)的解析式利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出拋物線的對(duì)稱軸, 由AO的長(zhǎng)度結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得出點(diǎn)G的橫坐標(biāo), 再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求出點(diǎn)G的坐標(biāo);

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m,-m2+3m+4）,結(jié)合點(diǎn)A,C的坐標(biāo)可得出AP2,CP2,AC2的值, 分∠ACP=90°及∠PAC=90°兩種情況, 利用勾股定理即可得出關(guān)于m的一元二次方程,解之即可得出結(jié)論．

解:（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4,0）,

∴OA=4,

又∵OA=OC=4OB,

∴OA=OC=4,OB=1,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,4）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1,0）.

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0）,

將A（4,0）,B（﹣1,0）,C（0,4）代入y=ax2+bx+c,

得,解得:,

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4,

（2）∵拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4,

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=,

∵如圖1,動(dòng)點(diǎn)G在AC上方的拋物線上,且以AG,AO為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)H也在拋物線上,

∴GH∥AO,GH=AO=4,

∵點(diǎn)G,H都在拋物線上,

∴G,H關(guān)于直線x=對(duì)稱,

∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為,

∵當(dāng)x=時(shí),y=﹣x2+3x+4=,

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（,）．

（3）假設(shè)存在,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m,-m2+3m+4）,

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,4）,

∴AP2=（m-4）2+（-m2+3m+4-0）2=m4-6m3+2m2+16m+32,

CP2=（m-0）2+（-m2+3m+4-4）2=m4-6m3+10m2,AC2=（0-4）2+（4-0）2=32,

分兩種情況考慮,如圖2所示,

①當(dāng)∠ACP=90°時(shí),AP2=CP2+AC2,

即m4-6m3+2m2+16m+32=m4-6m3+10m2+32, 整理得：m2-2m=0,

解得:m1=0（舍去）,m2=2,

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,6）;

整理得:m2-2m-8=0,解得:m3=-2,m4=4（舍去）,

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2,-6）．

綜上所述,假設(shè)成立,拋物線上存在點(diǎn)P（2,6）或（﹣2,﹣6）,使得△ACP是以為直角邊的直角三角形．