Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標是（4，0），并且OA=OC=4OB，動點P在過A，B，C三點的拋物線上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在AC上方的拋物線上有一動點G，如圖，當點G運動到某位置時，以AG，AO為鄰邊的平行四邊形第四個頂點恰好也在拋物線上，求出此時點G的坐標；

（3）若拋物線上存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，直接寫出所有符合條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4；（2）點G的坐標為（，）；（3）點P（2，6）或（﹣2，﹣6）．

【解析】

（1）由點A的坐標及OA=OC=4OB,可得出點B,C的坐標, 根據點A,B,C的坐標,利用待定系數法即可求出拋物線的解析式;

（2）由二次函數的解析式利用二次函數的性質可得出拋物線的對稱軸, 由AO的長度結合平行四邊形的性質可得出點G的橫坐標, 再利用二次函數圖象上點的坐標特征，即可求出點G的坐標;

（3）設點P的坐標為（m,-m2+3m+4）,結合點A,C的坐標可得出AP2,CP2,AC2的值, 分∠ACP=90°及∠PAC=90°兩種情況, 利用勾股定理即可得出關于m的一元二次方程,解之即可得出結論．

解:（1）∵點A的坐標是（4,0）,

∴OA=4,

又∵OA=OC=4OB,

∴OA=OC=4,OB=1,

∴點C的坐標為（0,4）,點B的坐標為（﹣1,0）.

設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0）,

將A（4,0）,B（﹣1,0）,C（0,4）代入y=ax2+bx+c,

得,解得:,

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4,

（2）∵拋物線的解析式為y=﹣x2+3x+4,

∴拋物線的對稱軸為直線x=,

∵如圖1,動點G在AC上方的拋物線上,且以AG,AO為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點H也在拋物線上,

∴GH∥AO,GH=AO=4,

∵點G,H都在拋物線上,

∴G,H關于直線x=對稱,

∴點G的橫坐標為,

∵當x=時,y=﹣x2+3x+4=,

∴點G的坐標為（,）．

（3）假設存在,設點P的坐標為（m,-m2+3m+4）,

∵點A的坐標為（4,0）,點C的坐標為（0,4）,

∴AP2=（m-4）2+（-m2+3m+4-0）2=m4-6m3+2m2+16m+32,

CP2=（m-0）2+（-m2+3m+4-4）2=m4-6m3+10m2,AC2=（0-4）2+（4-0）2=32,

分兩種情況考慮,如圖2所示,

①當∠ACP=90°時,AP2=CP2+AC2,

即m4-6m3+2m2+16m+32=m4-6m3+10m2+32, 整理得：m2-2m=0,

解得:m1=0（舍去）,m2=2,

∴點P的坐標為（2,6）;

整理得:m2-2m-8=0,解得:m3=-2,m4=4（舍去）,

∴點P的坐標為（-2,-6）．

綜上所述,假設成立,拋物線上存在點P（2,6）或（﹣2,﹣6）,使得△ACP是以為直角邊的直角三角形．