Question

19．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，MN是過點(diǎn)A的直線，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E．
（1）試判定：①BD=AE嗎？②DE與CE、BD的關(guān)系，并說明理由；
（2）將MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DE與BC相交時(shí)（交點(diǎn)不在B、C兩點(diǎn)），BD=AE嗎？畫出圖形說明理由．

Answer 1

分析 （1）①由條件證明△ADB≌△CEA就可以得出結(jié)論；
②由△ADB≌△CEA可以得出AD=CE，就可以得出DE=CE+BD．
（2）由∠BAC=90°，則∠BAD+∠CAD=90°，又BD⊥MN，CE⊥MN，則∠CAD+∠ACE=90°，∠BDA=∠AEC=90°，AAS即可證明△ABD≌△CAE；

解答 解：（1）①BD=AE．
理由：∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠ADB=∠CEA=90°．
∴∠ABD+∠BAD=90°
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE．
在△ADB和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CEA}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE；
②DE=CE+BD．
理由：∵△ADB≌△CEA，
∴AD=CE．
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD．

（2）如圖，結(jié)論仍然成立．BD=AE．
理由：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
又∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠CAD+∠ACE=90°，∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠BAD=∠ACE，又AB=AC，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC}\\{∠BAD=∠ACE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．