Question

已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)O任作一直線分別交BC、AD于點(diǎn)M、N（如圖①）．
（1）求證：BM=DN；
（2）如圖②，四邊形AMNE是由四邊形CMND沿MN翻折得到的，連接CN，求證：四邊形AMCN是菱形；
（3）在（2）的條件下，如圖③，若AB=4cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AMB和△CDN各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周．即點(diǎn)P自A→M→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→N→C停止．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析：（1）證法一：連接BD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠OBM=∠ODN，再根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分可得OB=OD，然后利用“角邊角”證明△OBM和△ODN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明；
證法二：根據(jù)矩形的中心對(duì)稱(chēng)性可得B、D，M、N關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，從而得到BM=DN；
（2）證法一：根據(jù)矩形的對(duì)邊平行且相等可得AD∥BC，AD=BC，然后求出AN=CM，再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等是平行四邊形證明四邊形AMCN是平行四邊形，根據(jù)翻折的性質(zhì)可AM=CM，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明；
證法二：根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AN=NC，AM=MC，∠AMN=∠CMN，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ANM=∠CMN，然后求出∠AMN=∠ANM，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AM=AN，從而得到AM=MC=CN=NA，然后根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形證明；
（3）先判斷出點(diǎn)P在BM，點(diǎn)Q在ND上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，然后用t表示出PC、QA，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等列出方程求解即可．

解答：解：（1）證法一：連接BD，則BD過(guò)點(diǎn)O，
∵AD∥BC，
∴∠OBM=∠ODN，
∵O是對(duì)角線的交點(diǎn)，
∴OB=OD，
在△OBM和△ODN中，

∠OBM=∠ODN OB=OD ∠BOM=∠DON

，
∴△OBM≌△ODN（ASA），
∴BM=DN；

證法二：∵矩形ABCD是中心對(duì)稱(chēng)圖形，點(diǎn)O是對(duì)稱(chēng)中心，
∴得B、D，M、N關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，
∴BM=DN；


（2）證法一：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BM=DN，
∴AD-DN=BC-BM，
即AN=CM，
∴四邊形AMCN是平行四邊形，
由翻折得，AM=CM，
∴四邊形AMCN是菱形；

證法二：由翻折得，AN=NC，AM=MC，∠AMN=∠CMN，
∵AD∥BC，
∴∠ANM=∠CMN，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∴AM=MC=CN=NA，
∴四邊形AMCN是菱形；

（3）設(shè)菱形AMCN的邊長(zhǎng)為xcm，則BM=8-x，
在Rt△ABM中，AB²+BM²=AM²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
∴AM=5cm，
顯然，當(dāng)點(diǎn)P在AM上時(shí)，點(diǎn)Q在CD上，此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形，
同理，點(diǎn)P在AB上時(shí)，點(diǎn)Q在DN或CN上，此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)也不可能構(gòu)成平行四邊形，
因此，只有點(diǎn)P在BM上，點(diǎn)Q在DN上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，
此時(shí)PC=QA，
∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
∴PC=PM+MC=PM+AM=5t，
QA=AD+CD-CQ=8+4-4t=12-4t，
∴5t=12-4t，
解得t=

4

3

，
∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t=

4

3

秒．

點(diǎn)評(píng)：本題是四邊形綜合題型，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，（3）判斷出以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P、Q的位置是解題的關(guān)鍵．