Question

已知：矩形ABCD中，AB=1，點M在對角線AC上，直線l過點M且與AC垂直，與AD相交于點E．
（1）如果直線l與邊BC相交于點H（如圖1）AM=

1

3

AC且AD=a，求的AE長（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）在（1）中，直線l把矩形分成兩部分的面積比為2：5，求a的值；
（3）若AM=

1

4

AC，且直線l經(jīng)過點B（如圖2），求AD的長；
（4）如果直線l分別與邊AD，AB相交于點E，F(xiàn)，AM=

1

4

AC，設(shè)AD的長為x，△AEF的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍（求x的取值范圍可不寫過程）．

Answer 1

分析：（1）可先用勾股定理求出AC的長，然后根據(jù)相似三角形AME和ADC得出的關(guān)于AE，AC，AM，AD的比例關(guān)系式求出AE的長；
（2）由于梯形AEHB和梯形EDCH的高相等，因此它們的面積比就是兩底和的比．可根據(jù)相似三角形AME和CMH得出AE，CH的比例關(guān)系，然后用AE表示出CH，BH，進而可根據(jù)面積比為2：5得出關(guān)于a的方程，即可求出a的值；
（3）可先設(shè)AE的長為x，那么可在相似三角形AEM和CMB中得出AE，BC的比例關(guān)系，然后用x表示出BC即AD的長，在相似三角形AEM和ACD中，根據(jù)AE，AC，AM，AD的比例關(guān)系式求出x的值，進而可求出AD的長；
（4）求三角形AEF的面積需要求出AE，AF的長，可在相似三角形AEM和ACD中，根據(jù)得出的關(guān)于AE，AC，AM，AD的比例關(guān)系式求出AE的表達式，同理可通過相似三角形AMF和ABC求出AF的表達式，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得出y，x的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)（3）中求出的AE，AD的長，要想使直線l與AB，AD有交點，那么x的取值范圍就應(yīng)該是

3

3

≤x≤

3

．

解答：解：（1）在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理有：AC²=AD²+DC²=a²+1
∵∠AME=∠D=90°，∠EAM=∠CAD
∴△AME∽△ADC，
∴

AE

AC

=

AM

AD

，
∴AE=

AM•AC

AD

，
∵AM=

1

3

AC，
∴AE=

a2+1

3a

；

（2）∵AE∥BC，
∴△AEM∽△CHM，
∴

AE

CH

=

AM

MC

，
∵

AM

AC

=

1

3

，
∴

AE

CH

=

1

2

，即CH=2AE=

2a2+2

3a

，
∴BH=a-CH=

a2-2

3a

，
∴

AE+BH

a-AE+a-BH

=

2

5

，
∴a²=

7

2

，即a=

14

2

；

（3）設(shè)AE=x，
∵AE∥BC，
∴

AM

MC

=

AE

BC

，
∵

AM

AC

=

1

4

，即

AM

MC

=

1

3

，
∴

AE

BC

=

1

3

，
設(shè)AE=x，則BC=3x，AC=

1+9x2

，
∵△AME∽△ADC，
∴

AE

AC

=

AM

AD

，
由于AM=

1

4

AC，AD=BC，
∴x•3x=

1

4

（1+9x²），
∴x=

3

3

，
∴AD=BC=3x=

3

；

（4）由題意可知：AC=

1+x2

，AM=

1

4

1+x2

，
∵△AEM∽△ACD
∴

AE

AC

=

AM

AD

，∴AE=

x2+1

4x

，
同理可得出

AF

AD

=

AE

DC

，
∴AF=

x2+1

4

，
則S_△AEF=

1

2

AE•AF=

(x2+1)2

32x

（

3

3

≤x≤

3

）．

點評：本題主要考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定及性質(zhì)等知識點，根據(jù)相似三角形得出的相關(guān)線段成比例來求線段的長是解題的關(guān)鍵．