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【題目】操作探究:

數學研究課上,老師帶領大家探究《折紙中的數學問題》時,出示如圖1所示的長方形紙條ABCD,其中AD=BC=1,AB=CD=5.然后在紙條上任意畫一條截線段MN,將紙片沿MN折疊,MB與DN交于點K,得到MNK.如圖2所示:

探究:

(1)若1=70°,MKN= °

(2)改變折痕MN位置,MNK始終是 三角形,請說明理由;

應用:

(3)愛動腦筋的小明在研究MNK的面積時,發(fā)現KN邊上的高始終是個不變的值.根據這一發(fā)現,他很快研究出KMN的面積最小值為,此時1的大小可以為 °

(4)小明繼續(xù)動手操作,發(fā)現了MNK面積的最大值.請你求出這個最大值.

【答案】(1)、40;(2)、等腰;(3)、45°或135°(4)、最大值為1.3.

【解析】

試題分析:(1)、根據矩形的性質和折疊的性質求出KNM,KMN的度數,根據三角形內角和即可求解;

(2)、利用翻折變換的性質以及兩直線平行內錯角相等得出KM=KN;(3)、利用當KMN的面積最小值為時,KN=BC=1,故KNBM,得出1=NMB=45°,同理當將紙條向下折疊時,1=NMB=135°;(4)、分情況一:將矩形紙片對折,使點B與D重合,此時點K也與D重合;情況二:將矩形紙片沿對角線AC對折,此時折痕即為AC兩種情況討論求解.

試題解析:(1)、如圖1, 四邊形ABCD是矩形, AMDN. ∴∠KNM=1. ∵∠1=70°,

∴∠KNM=KMN=1=70°, ∴∠MKN=40°

(2)、等腰, 理由:ABCD,∴∠1=MND, 將紙片沿MN折疊, BGFYTTTQ ∴∠1=KMN,MND=KMN,

KM=KN;

(3)、如圖2,當KMN的面積最小值為時,KN=BC=1,故KNBM, ∵∠NMB=KMN,KMB=90°

∴∠1=NMB=45°,同理當將紙條向下折疊時,1=NMB=135°,

(4)、分兩種情況:

情況一:如圖3,將矩形紙片對折,使點B與D重合,此時點K也與D重合. MK=MB=x,則AM=5x.

由勾股定理得12+(5x)2=x2 解得x=2.6. MD=ND=2.6. SMNK=SMND=×1×2.6=1.3.

情況二:如圖4,將矩形紙片沿對角線AC對折,此時折痕即為AC. MK=AK=CK=x,則DK=5x.

同理可得MK=NK=2.6. MD=1, SMNK=×1×2.6=1.3. MNK的面積最大值為1.3.

練習冊系列答案
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