Question

如圖，已知直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=AB=2，OC=3，過點B作BD⊥BC，交OA于點D．將∠DBC繞點B按順時針方向旋轉，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于E和F．
（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）當BE經(jīng)過（1）中拋物線的頂點時，求CF的長；
（3）連接EF，設△BEF與△BFC的面積之差為S，問：當CF為何值時S最小，并求出這個最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)OA、AB、OC的長，即可得到A、B、C三點的坐標，進而可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）此題要通過構造全等三角形求解；過B作BM⊥x軸于M，由于∠EBF是由∠DBC旋轉而得，所以這兩角都是直角，那么∠EBF=∠ABM=90°，根據(jù)同角的余角相等可得∠EBA=∠FBM；易知BM=OA=AB=2，由此可證得△FBM≌△EBA，則AE=FM；CM的長易求得，關鍵是FM即AE的長；設拋物線的頂點為G，由于G點在線段AB的垂直平分線上，若過G作GH⊥AB，則GH是△ABE的中位線，G點的坐標易求得，即可得到GH的長，從而可求出AE的長，即可由CF=CM+FM=AE+CM求出CF的長；
（3）由（2）的全等三角形易證得BE=BF，則△BEF是等腰直角三角形，其面積為BF平方的一半；△BFC中，以CF為底，BM為高即可求出△BFC的面積；可設CF的長為a，進而表示出FM的長，由勾股定理即可求得BF的平方，根據(jù)上面得出的兩個三角形的面積計算方法，即可得到關于S、a的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)的性質即可求出S的最小值及對應的CF的長．
解答：解：
（1）由題意可得A（0，2），B（2，2），C（3，0），
設所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則，
解得；（3分）
∴拋物線的解析式為y=-+x+2；（1分）

（2）設拋物線的頂點為G，
則G（1，），過點G作GH⊥AB，垂足為H，
則AH=BH=1，GH=-2=；
∵EA⊥AB，GH⊥AB，
∴EA∥GH；
∴GH是△BEA的中位線，
∴EA=2GH=；（2分）
過點B作BM⊥OC，垂足為M，則BM=OA=AB；
∵∠EBF=∠ABM=90°，
∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF，
∴Rt△EBA≌Rt△FBM，
∴FM=EA=；
∵CM=OC-OM=3-2=1，
∴CF=FM+CM=（2分）；

（3）設CF=a，則FM=a-1，
∴BF²=FM²+BM²=（a-1）²+2²=a²-2a+5，
∵△EBA≌△FBM，
∴BE=BF，
則S_△BEF=BE•BF=（a²-2a+5），（1分）
又∵S_△BFC=FC•BM=×a×2=a，（1分）
∴S=（a²-2a+5）-a=a²-2a+，
即S=（a-2）²+；（1分）
∴當a=2（在0＜a＜3范圍內）時，S_最小值=．（1分）
點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、全等三角形的判定和性質以及三角形面積的求法等重要知識點，能夠正確的將求圖形面積最大（小）問題轉換為二次函數(shù)求最值的問題是解答（3）題的關鍵．