【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx2x軸交于AB兩點,與y軸交于點C,已知A1,0),且tanABC=.

1)求拋物線的解折式.

2)在直線BC下方拋物線上一點P,當四邊形OCPB的面積取得最大值時,求此時點P的坐標.

3)在y軸的左側(cè)拋物線上有一點M,滿足∠MBA=ABC,若點N是直線BC上一點,當MNB為等腰三角形時,求點N的坐標.

【答案】1)拋物線的解折式為y=x2x2;

2P點的坐標為(,);

3)點N的坐標為(﹣2, )或(8, )或(﹣,)或(﹣).

【解析】試題分析:(1)由解析式求得C的坐標,然后根據(jù)tan∠ABC=求得OB=3,從而求得B的坐標,進而根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式;

2)過點Py軸的平行線與BC交于點Q,與OB交于點E,設(shè)Px,x2﹣2x﹣3),易得,直線BC的解析式為y=x﹣3Q點的坐標為(x,x﹣3),再根據(jù)S四邊形ABPC=SABC+SBPQ+SCPQ即可得出結(jié)論.

3)根據(jù)題意求得M的坐標,然后分三種情況討論求得即可.

解:(1)由拋物線y=ax2+bx﹣2可知C的坐標為(0,﹣2),

∴OC=2,

∵tan∠ABC==

∴OB=3

∴B3,0),

∵A﹣1,0),

A、B的坐標代入y=ax2+bx﹣2得:

解得,

拋物線的解折式為y=x2x﹣2;

2)過點Py軸的平行線與BC交于點Q,與OB交于點E,

設(shè)Px,x2x﹣2),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+bk≠0),

∵B3,0),C0,﹣2),

,

解得,

直線BC的解析式為y=x﹣2

∴Q點的坐標為(x,x﹣2),

∴S四邊形ABPC=SABC+SBPQ+SCPQ

=ABOC+QPOE+QPEB

=×4×2+2x﹣x2×3

=﹣x2+3x+4

=﹣x﹣2+,

x=時,四邊形ABPC的面積最大,最大面積為.此時P點的坐標為(,).

3)設(shè)直線AMy軸于D,

∵∠MBA=∠ABC,

∴OD=OC=2,

∴D02),

設(shè)直線AM的解析式為y=mx+2

代入B3,0)得0=3m+2,解得m=﹣,

直線AM的解析式為y=﹣x+2,

∴M﹣2,),

設(shè)Nxx﹣2),

∵BM2=3+22+2,MN2=x+22+x﹣2﹣2,BN2=x﹣32+x﹣22

MB=BN時,N﹣2,)或(8);

MB=MN時,則(3+22+2=x+22+x﹣2﹣2,

整理得13x2﹣28x﹣33=0,

解得x1=3x2=﹣,

∴N,);

BN=MN時,(x+22+x﹣2﹣2=x﹣32+x﹣22

整理得10x=﹣35,

解得x=﹣

∴N,);

綜上,點N的坐標為(﹣2,)或(8,)或()或(,).

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2)若點P在邊ABAD上,點P關(guān)于坐標軸對稱的點Q落在直線y=x﹣1上,求點P的坐標.

3)若點P在邊AB,AD,CD上,點GADy軸的交點,如圖2,過點Py軸的平行線PM,過點Gx軸的平行線GM,它們相交于點M,將PGM沿直線PG翻折,當點M的對應(yīng)點落在坐標軸上時,求點P的坐標.(直接寫出答案

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