Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，AB=4，PC、PD是⊙O的兩條切線，C、D為切點．

（1）如圖1，求⊙O的半徑；
（2）如圖1，若點E是BC的中點，連接PE，求PE的長度；
（3）如圖2，若點M是BC邊上任意一點（不含B、C），以點M為直角頂點，在BC的上方作∠AMN=90°，交直線CP于點N，求證：AM=MN．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，連接OD，OC，

∵PC、PD是⊙O的兩條切線，C、D為切點，

∴∠ODP=∠OCP=90°，

∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，

∴∠DOC=90°，OD=OC，

∴四邊形DOCP是正方形，

∵AB=4，∠ODC=∠OCD=45°，

∴DO=CO=DCsin45°=×4=2；

（2）

解：如圖1，連接EO，OP，

∵點E是BC的中點，

∴OE⊥BC，∠OCE=45°，

則∠E0P=90°，

∴EO=EC=2，OP=CO=4，

∴PE==2；

（3）

證明：如圖2，在AB上截取BF=BM，

∵AB=BC，BF=BM，

∴AF=MC，∠BFM=∠BMF=45°，

∵∠AMN=90°，

∴∠AMF+∠NMC=45°，∠FAM+∠AMF=45°，

∴∠FAM=∠NMC，

∵由1得：PD=PC，∠DPC=90°，

∴∠DCP=45°，

∴∠MCN=135°，

∵∠AFM=180°﹣∠BFM=135°，

在△AFM和△CMN中

，

∴△AFM≌△CMN（ASA），

∴AM=MN．

【解析】（1）利用切線的性質(zhì)以及正方形的判定與性質(zhì)得出⊙O的半徑即可；
（2）利用垂徑定理得出OE⊥BC，∠OCE=45°，進而利用勾股定理得出即可；
（3）在AB上截取BF=BM，利用（1）中所求，得出∠ECP=135°，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出即可．