Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M經(jīng)過原點O及點A、B．
（1）求⊙M的半徑及圓心M的坐標；
（2）過點B作⊙M的切線l，求直線l的解析式；
（3）∠BOA的平分線交AB于點N，交⊙M于點E，求點N的坐標和線段OE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓周角定理∠AOB=90°得AB為⊙M的直徑，則可得到線段AB的中點即點M的坐標，然后利用勾股定理計算出AB=10，則可確定⊙M的半徑為5；
（2）點B作⊙M的切線l交x軸于C，根據(jù)切線的性質(zhì)得AB⊥BC，利用等角的余角相等得到∠BAO=∠CBO，然后根據(jù)相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽Rt△BCO，所以=，可解得OC=，則C點坐標為（-，0），最后運用待定系數(shù)法確定l的解析式；
（3）作ND⊥x軸，連結AE，易得△NOD為等腰直角三角形，所以ND=OD，ON=ND，再利用ND∥OB得到△ADN∽△AOB，則ND：OB=AD：AO，即ND：6=（8-ND）：8，解得ND=，所以OD=，ON=，即可確定N點坐標；由于△ADN∽△AOB，利用ND：OB=AN：AB，可求得AN=，則BN=10-=，然后利用圓周角定理得∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，所以△BON∽△EAN，再利用相似比可求出ME，最后由OE=ON+NE計算即可．
解答：解：（1）∵∠AOB=90°，
∴AB為⊙M的直徑，
∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB==10，
∴⊙M的半徑為5；圓心M的坐標為（4，3）；

（2）點B作⊙M的切線l交x軸于C，如圖，
∵BC與⊙M相切，AB為直徑，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBO+∠ABO=90°，
而∠BAO=∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBO，
∴Rt△ABO∽Rt△BCO，
∴=，即=，解得OC=，
∴C點坐標為（-，0），
設直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（0，6）、C點（-，0）分別代入，
解得，
∴直線l的解析式為y=x+6；

（3）作ND⊥x軸，連結AE，如圖，
∵∠BOA的平分線交AB于點N，
∴△NOD為等腰直角三角形，
∴ND=OD，
∴ND∥OB，
∴△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AD：AO，
∴ND：6=（8-ND）：8，解得ND=，
∴OD=，ON=ND=，
∴N點坐標為（，）；
∵△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AN：AB，即：6=AN：10，解得AN=，
∴BN=10-=，
∵∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，
∴△BON∽△EAN，
∴BN：NE=ON：AN，即：NE=：，解得NE=，
∴OE=ON+NE=+=7．
點評：本題考查了圓的綜合題：掌握切線的性質(zhì)、圓周角定理及其推論；學會運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；熟練運用勾股定理和相似比進行幾何計算．