Question

（2013•遂寧）如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD，垂足為E，點M在OC上，AM的延長線交⊙O于點G，交過C的直線于F，∠1=∠2，連結(jié)CB與DG交于點N．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）求證：△ACM∽△DCN；
（3）若點M是CO的中點，⊙O的半徑為4，cos∠BOC=

1

4

，求BN的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線的判定定理得出∠1+∠BCO=90°，即可得出答案；
（2）利用已知得出∠3=∠2，∠4=∠D，再利用相似三角形的判定方法得出即可；
（3）根據(jù)已知得出OE的長，進(jìn)而利用勾股定理得出EC，AC，BC的長，即可得出CD，利用（2）中相似三角形的性質(zhì)得出NB的長即可．

解答：（1）證明：∵△BCO中，BO=CO，
∴∠B=∠BCO，
在Rt△BCE中，∠2+∠B=90°，
又∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BCO=90°，
即∠FCO=90°，
∴CF是⊙O的切線；
        
（2）證明：∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=∠FCO=90°，
∴∠ACB-∠BCO=∠FCO-∠BCO，
即∠3=∠1，
∴∠3=∠2，
∵∠4=∠D，
∴△ACM∽△DCN；
                            
（3）解：∵⊙O的半徑為4，即AO=CO=BO=4，
在Rt△COE中，cos∠BOC=

1

4

，
∴OE=CO•cos∠BOC=4×

1

4

=1，
由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：
CE=

CO2-EO2

=

42-12

=

15

，
AC=

CE2+AE2

=

( 15)2+52

=2

10

，
BC=

CE2+BE2

=

( 15)2+32

=2

6

，
∵AB是⊙O直徑，AB⊥CD，
∴由垂徑定理得：CD=2CE=2

15

，
∵△ACM∽△DCN，
∴

CM

CN

=

AC

CD

，
∵點M是CO的中點，CM=

1

2

AO=

1

2

×4=2，
∴CN=

CM•CD

AC

=

2×2 15

2 10

=

6

，
∴BN=BC-CN=2

6

-

6

=

6

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及切線的判定和勾股定理的應(yīng)用等知識，根據(jù)已知得出△ACM∽△DCN是解題關(guān)鍵．