【題目】綜合與探究
如圖,拋物線(xiàn)y=﹣與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)B,C兩點(diǎn),點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),連接CM,將線(xiàn)段MC繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段MD,連接CD,BD.設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(t>0),請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)與直線(xiàn)l的表達(dá)式;
(2)①直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)(用含t的式子表示),并求點(diǎn)D落在直線(xiàn)l上時(shí)的t的值;
②求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中線(xiàn)段CD長(zhǎng)度的最小值;
(3)在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,在直線(xiàn)l上是否存在點(diǎn)P,使得△BDP是等邊三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)A(﹣3,0),y=﹣x+;(2)①D(t﹣3+,t﹣3),②CD最小值為;(3)P(2,﹣),理由見(jiàn)解析.
【解析】
(1)當(dāng)y=0時(shí),﹣=0,解方程求得A(-3,0),B(1,0),由解析式得C(0,),待定系數(shù)法可求直線(xiàn)l的表達(dá)式;
(2)分當(dāng)點(diǎn)M在AO上運(yùn)動(dòng)時(shí),當(dāng)點(diǎn)M在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí),進(jìn)行討論可求D點(diǎn)坐標(biāo),將D點(diǎn)坐標(biāo)代入直線(xiàn)解析式求得t的值;線(xiàn)段CD是等腰直角三角形CMD斜邊,若CD最小,則CM最小,根據(jù)勾股定理可求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中線(xiàn)段CD長(zhǎng)度的最小值;
(3)分當(dāng)點(diǎn)M在AO上運(yùn)動(dòng)時(shí),即0<t<3時(shí),當(dāng)點(diǎn)M在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí),即3≤t≤4時(shí),進(jìn)行討論可求P點(diǎn)坐標(biāo).
(1)當(dāng)y=0時(shí),﹣=0,解得x1=1,x2=﹣3,
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),
∴A(﹣3,0),B(1,0),
由解析式得C(0,),
設(shè)直線(xiàn)l的表達(dá)式為y=kx+b,將B,C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得b=mk﹣,
故直線(xiàn)l的表達(dá)式為y=﹣x+;
(2)當(dāng)點(diǎn)M在AO上運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖:
由題意可知AM=t,OM=3﹣t,MC⊥MD,過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線(xiàn)垂足為N,
∠DMN+∠CMO=90°,∠CMO+∠MCO=90°,
∴∠MCO=∠DMN,
在△MCO與△DMN中,
,
∴△MCO≌△DMN,
∴MN=OC=,DN=OM=3﹣t,
∴D(t﹣3+,t﹣3);
同理,當(dāng)點(diǎn)M在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖,
OM=t﹣3,△MCO≌△DMN,MN=OC=,ON=t﹣3+,DN=OM=t﹣3,
∴D(t﹣3+,t﹣3).
綜上得,D(t﹣3+,t﹣3).
將D點(diǎn)坐標(biāo)代入直線(xiàn)解析式得t=6﹣2,
線(xiàn)段CD是等腰直角三角形CMD斜邊,若CD最小,則CM最小,
∵M在AB上運(yùn)動(dòng),
∴當(dāng)CM⊥AB時(shí),CM最短,CD最短,即CM=CO=,根據(jù)勾股定理得CD最小;
(3)當(dāng)點(diǎn)M在AO上運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖,即0<t<3時(shí),
∵tan∠CBO==,
∴∠CBO=60°,
∵△BDP是等邊三角形,
∴∠DBP=∠BDP=60°,BD=BP,
∴∠NBD=60°,DN=3﹣t,AN=t+,NB=4﹣t﹣,tan∠NBO=,
=,解得t=3﹣,
經(jīng)檢驗(yàn)t=3﹣是此方程的解,
過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)交于點(diǎn)Q,易知△PQB≌△DNB,
∴BQ=BN=4﹣t﹣=1,PQ=,OQ=2,P(2,﹣);
同理,當(dāng)點(diǎn)M在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí),即3≤t≤4時(shí),
∵△BDP是等邊三角形,
∴∠DBP=∠BDP=60°,BD=BP,
∴∠NBD=60°,DN=t﹣3,NB=t﹣3+﹣1=t﹣4+,tan∠NBD=,
=,解得t=3﹣,
經(jīng)檢驗(yàn)t=3﹣是此方程的解,t=3﹣(不符合題意,舍).
故P(2,﹣).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知菱形的邊長(zhǎng)和一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)均為2 cm,則菱形的面積為( )
A. 3cm2 B. 4 cm2 C. cm2 D. 2cm2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AE平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)E做直線(xiàn)l∥BC.
(1)判斷直線(xiàn)l與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)若∠ABC的平分線(xiàn)BF交AD于點(diǎn)F,求證:BE=EF;
(3)在(2)的條件下,若DE=4,DF=3,求AF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為BC中點(diǎn),CE⊥AD于E,BF∥AC交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于F.
(1)求證:△ACD≌△CBF;
(2)求證:AB垂直平分DF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】近年來(lái),新能源汽車(chē)以其舒適環(huán)保、節(jié)能經(jīng)濟(jì)的優(yōu)勢(shì)受到熱捧,隨之而來(lái)的就是新能汽車(chē)銷(xiāo)量的急速增加,當(dāng)前市場(chǎng)上新能漂汽車(chē)從動(dòng)力上分純電動(dòng)和混合動(dòng)力兩種,從用途上又分為乘用式和商用式兩種,據(jù)中國(guó)汽車(chē)工業(yè)協(xié)會(huì)提供的信息,2017年全年新能源乘用車(chē)的累計(jì)銷(xiāo)量為57.9萬(wàn)輛,其中,純電動(dòng)乘用車(chē)銷(xiāo)量為46.8萬(wàn)輛,混合動(dòng)力乘用車(chē)銷(xiāo)量為11.1萬(wàn)輛; 2017年全年新能源商用車(chē)的累計(jì)銷(xiāo)量為19.8萬(wàn)輛,其中,純電動(dòng)商用車(chē)銷(xiāo)量為18.4萬(wàn)輛,混合動(dòng)力商用車(chē)銷(xiāo)量為1.4萬(wàn)輛,請(qǐng)根據(jù)以上材料解答下列問(wèn)題:
(1)請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)表表示我國(guó)2017年新能源汽車(chē)各類(lèi)車(chē)型銷(xiāo)量情況;
(2)小穎根據(jù)上述信息,計(jì)算出2017年我國(guó)新能源各類(lèi)車(chē)型總銷(xiāo)量為77.7萬(wàn)輛,并繪制了“2017年我國(guó)新能源汽車(chē)四類(lèi)車(chē)型銷(xiāo)量比例”的扇形統(tǒng)計(jì)圖,如圖1,請(qǐng)你將該圖補(bǔ)充完整(其中的百分?jǐn)?shù)精確到0.1%);
(3)2017年我國(guó)新能源乘用車(chē)銷(xiāo)量最高的十個(gè)城市排名情況如圖2,請(qǐng)根據(jù)圖2中信息寫(xiě)出這些城市新能源乘用車(chē)銷(xiāo)售情況的特點(diǎn)(寫(xiě)出一條即可);
(4)數(shù)據(jù)顯示,2018年1~3月的新能源乘用車(chē)總銷(xiāo)量排行榜上位居前四的廠家是比亞迪、北汽、上汽、江準(zhǔn),參加社會(huì)實(shí)踐的大學(xué)生小王想對(duì)其中兩個(gè)廠家進(jìn)行深入調(diào)研,他將四個(gè)完全相同的乒乓球進(jìn)行編號(hào)(用“1,2,3,4”依次對(duì)應(yīng)上述四個(gè)廠家),并將乒乓球放入不透明的袋子中攪勻,從中一次拿出兩個(gè)乒乓球,根據(jù)乒乓球上的編號(hào)決定要調(diào)研的廠家.求小王恰好調(diào)研“比亞迪”和“江淮”這兩個(gè)廠家的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=mx2+(6﹣2m)x+m﹣3的圖象如圖所示,則m的取值范圍是( 。
A. m>3 B. m<3 C. 0≤m≤3 D. 0<m<3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)y=a(x+1)(x-9)與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,若∠ACB=90°,則a的值為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】探究應(yīng)用:
(1)計(jì)算:___________;______________.
(2)上面的乘法計(jì)算結(jié)果很簡(jiǎn)潔,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律(公式)?用含字母的等式表示該公式為:_______________.
(3)下列各式能用第(2)題的公式計(jì)算的是( )
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)一種商品的進(jìn)價(jià)為每件30元,售價(jià)為每件40元.每天可以銷(xiāo)售48件,為盡快減少庫(kù)存,商場(chǎng)決定降價(jià)促銷(xiāo).
(1)若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價(jià)降至每件32.4元,求兩次下降的百分率;
(2)經(jīng)調(diào)查,若每降價(jià)0.5元,每天可多銷(xiāo)售4件,那么每天要想獲得510元的利潤(rùn),每件應(yīng)降價(jià)多少元?
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