Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)E(8, 0 ), 拋物線的頂點(diǎn)A在第四象限，點(diǎn)A到x軸的距離AB=4，點(diǎn)P（m, 0）是線段OE上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA，將線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PC，過點(diǎn)C作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)G，交拋物線于點(diǎn)D，連結(jié)BC和AD.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)；

(3)當(dāng)以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

                       

Answer 1

（1）解：點(diǎn)E（8，0），AB⊥x軸，由拋物線的軸對稱性可知B（4，0）點(diǎn)A（4，-4），拋物線經(jīng)過點(diǎn)O（0，0），A（4,-4）、E（8,0）得，   

               

 解得          

                     

    ∴拋物線的解析式為

（2）解： ∵∠APC=90°∴∠APB+∠CPG=90°

∵AB⊥PE∴∠APB+∠PAB=90°

∴∠CPG=∠PAB 

∵∠ABP=∠PGC=90°，PC=PA

 ∴△ABP≌△PGC   

∴PB=CG，AB=PG=4                                            第26題 圖1

∵P（m，0），OP=m ，且點(diǎn)P是線段OE上的動(dòng)點(diǎn)

∴PB=CG=︱4-m︱， OG=︱m+4︱   

①     如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左邊時(shí)，點(diǎn)C在x軸上方，

m＜4，4-m＞0，PB=CG=4-m

∴C（m+4，4-m）    

②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，點(diǎn)C在x軸下方，

m＞4，4-m＜0，

∴PB=︱4-m︱=-(4-m)=m-4

∴CG=m-4                                                    第26題 圖2

∴C（m+4，4-m）    

綜上所述，點(diǎn)C坐標(biāo)是C（m+4，4-m）  

（3）解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí)

∵CD∥y軸，則CD⊥OE

∵點(diǎn)D在拋物線上，橫坐標(biāo)是m+4，將x= m+4代入得                                           

                     

化簡得：       

∴D（m+4，）                    

∴CD=4-m-（）=

∵四邊形ABCD是平行四邊形                                第26題 圖1

∴AB=CD=4，

∴=4        

解得,

∵點(diǎn)P在線段OE上，∴不符合題意，舍去

∴P（，0）           

如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時(shí)，

∵C（m+4，4- m）             

∵點(diǎn)D在拋物線上，橫坐標(biāo)是m+4，將x= m+4代入得                                          

                                                        

化簡得：           

∴D（m+4，）                        

∴ CD=             

∵四邊形ABDC是平行四邊形                                   第26題 圖2

∴AB=CD=4，

∴

解得，

∵點(diǎn)P在線段OE上，∴不符合題意，舍去

 ∴P（，0）       

綜上所述，當(dāng)以點(diǎn)A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

P（，0）或P（，0）