【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y=﹣ ax2+ ax+3a(a≠0)與x軸交于A和點(diǎn)B(A在左,B在右),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,且OB=OC.

(1)求拋物線的解析式;
(2)若D為OB中點(diǎn),E為CO中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)F在y軸的負(fù)半軸上,G在線段FD的延長線上,連接GE、ED,若D恰為FG中點(diǎn),且SGDE= ,求點(diǎn)F的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,動(dòng)點(diǎn)P在線段OB上,動(dòng)點(diǎn)Q在OC的延長線上,且BP=CQ.連接PQ與BC交于點(diǎn)M,連接GM并延長,GM的延長線交拋物線于點(diǎn)N,連接QN、GP和GB,若角滿足∠QPG﹣∠NQP=∠NQO﹣∠PGB時(shí),求NP的長.

【答案】
(1)解:將y=0代入得:y=﹣ ax2+ ax+3a,

∵a≠0,

∴﹣ x2+ x+3=0.

解得:x1=﹣ ,x2=6.

∴A(﹣ ,0)、B(6,0).

∴OB=6.

∵將x=0代入拋物線的解析式得:y=3a,

∴C(0,3a).

∴OC=3a.

∵OB=0C,

∴3a=6.

解得:a=2,

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+6;


(2)解:如圖1所示:連接GB.

∵E、D分別是OC、0B的中點(diǎn),

∴OE=3,OD=BD.

在△ODF和△GDB中,

,

∴△ODF≌△GDB,

∴BG=OF,∠GBD=∠FOD=90°,

∵SEDG=SEFG﹣SEFD

EFOB﹣ EFOD= ,即3EF﹣ EF= ,解得:EF=9;

∴OF=EF﹣OE=9﹣3=6,

∴F(0,﹣6);


(3)解:如圖2所示:過點(diǎn)P作PT∥y軸,交BC與點(diǎn)T,過點(diǎn)N作NR⊥y軸,垂足為R,NH⊥x軸于H,

∵TP∥OQ,

∴∠MPT=∠MQC,∠PTM=∠QCM,

∵OB=0C=6,

∴∠OCB=∠OBC=45°,

∴∠PBT=∠PTB=45°,

∴PT=PB=CQ,

在△PTM和△QCM中,

,

∴△PTM≌△QCM,

∴PM=QM,

∵GB⊥x軸,

∴BG∥y軸∥PT,

∴∠BGP=∠TPG.

∵∠QPG﹣∠NQO=∠NQP﹣∠PGB,

∴∠QPT+∠TPG﹣∠NQO=∠NQO+∠OQP﹣∠PCB,

∵∠QPT=∠OQP,∠TPG=∠PGB,

∴2∠TPG=2∠NQO,

∴∠TPG=∠NQO,

∴∠NQP=∠GPQ,

在△NMQ和△GMP中, ,

∴△NMQ≌△GMP,

∴NQ=GP,

在Rt△QNR和Rt△GPB中, ,

∴△QNR≌△GPB,

∴QM=BG=6,NR=PB=CQ.

設(shè)N(t,﹣ t2+ t+6).

∵QO=QC+CO=QR+RO,

∴QC=RO,

∴NR=RO,

∴﹣t=﹣ t2+ t+6,解得:t1=﹣2,t2=8(舍去).

∴N(﹣2,2),

∴NH=2,OH=NR=2.

∴PH=OB=6,

∴PN= =2 ,

∴線段NP的長為2


【解析】 (1)令y=0可求得點(diǎn)A,B的坐標(biāo),將x=0代入拋物線的解析式求得點(diǎn)C的坐標(biāo),然后根據(jù)OB=OC可求得a的值,從而得到拋物線的解析式;
(2)連接GB.首先依據(jù)SAS證明△ODF≌△GDB,從而得到BG=OF,接下來依據(jù)SEDG=SEFG﹣S△EFD可求得EF的長,從而得到BG的長,故此可得到點(diǎn)F的坐標(biāo);
(3)過點(diǎn)P作PT∥y軸,交BC與點(diǎn)T,過點(diǎn)N作NR⊥y軸,垂足為R,NH⊥x軸于H,首先證明PT=PB=CQ,然后依據(jù)SAS證明△PTM≌△QCM,于是得到PM=QM,再證明△NMQ≌△GMP,得到NQ=GP,再證明△QNR≌△GPB,得到NR=RO,從而列出關(guān)于t的方程,求得NR的長,最后在Rt△NHP中依據(jù)勾股定理得出結(jié)論。
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用勾股定理的概念,掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題.

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