Question

如圖1，正方形ABCD和正方形CGEF的邊長分別為2和3，且點B、C、G在同一條直線上，P是線段AE的中點，連接PF、PD．

（1）探究PF與PD的關系；
（2）將正方形ABCD沿著CF所在的直線平移，設平移的距離為|x|（向上平移為正，向下平移為負），線段PF的長為y，求y與x的函數關系式及自變量x的取值范圍．（圖2、3為操作備用圖）

Answer 1

解：（1）延長FP交AD的延長線與M，
∵正方形ABCD和正方形CGEF的邊長分別是2和3，
∴FD=1，
∵EF∥AM，P是線段AE的中點，
∴△EFP≌△AMP，
∴PM=PF，
∵AM=EF=3，AD=2，
∴DM=DF=1，
∴△DMF是等腰直角三角形，
∵PM=PF，
∴DP是△FDM的中線，
∴DP=FM=PF．

（2）如圖所示，將正方形ABCD沿著CF所在的直線平移，延長FP與AD的延長線相交于K，連接CP．
因為P為AE的中點，則BP=EP，
又因為∠EFD=∠AKP，∠FPE=∠KPA，
所以△EFP≌△AKP，
又因為△FCK為直角三角形，所以CP=CK=PK=PF，
于是∠K=60°．
FD=3-（2-|x|）=1+|x|，
于是y（|x|+1）=y•2ysin60°，
整理得y=|x|+（x為任意數）．
分析：（1）延長FP交AD的延長線與M，再由相似三角形的判定定理求出△EFM≌△AMH，DM=DF，求出△DMF是等腰直角三角形，再由等腰三角形斜邊的中線等于斜邊的一半解答即可；
（2）作出輔助線PK、DK、DP，求∠K的度數，再根據三角形的面積公式建立等式，求出y與x的函數關系式．
點評：此題是一道動點問題，要綜合利用勾股定理和全等三角形的性質及三角形的面積公式解答．要仔細解答第（1）題，為第（2）題提供思路．