Question

【題目】如圖所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以B為圓心，半徑為3的⊙O沿BC方向以每秒1個單位的速度平移，當(dāng)⊙O運動到與直線相交于點C時（點O在BC上），⊙O停止運動．

（1） （2） （3）
（1）當(dāng)運動停止時，試判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）在平移過程中，若⊙O與AB相切于點D，連接CD ， 求△ACD的面積；
（3）在平移過程中，若⊙O經(jīng)過AB的中點G時， E、F為OC上的兩個動點，且EF＝1.6，當(dāng)四邊形AGEF的周長最小時，試求OE的長度．

Answer 1

【答案】
（1）

答：直線AB與⊙O相切

證明：作OD⊥AB于D，

∵BC＝8，OC＝3，∴OB＝5

∵AC＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理，

得AB＝ ＝ ＝10

在△ABC和△OBD中，

∵∠ACB＝∠ODB＝90°，∠B＝∠B，∴△ABC∽△OBD

∴ ＝ ，∴OD＝ ＝ ＝3

∴直線AB與⊙ O相切

（2）

解：過點D作DH∥BC交AC于H

則，

∴DH＝＝ ＝

S△ACD＝AC·DH＝×6× ＝

（3）

連接GO與⊙O相交于點G′，則OG＝OG′，過A作AN//OG相交于N，在AN上截取AM＝1.6，連接MG′與BC交于點E，在EC上截取EF＝1.6，

則四邊形EFAM為平行四邊形，得ME＝AF，又AG、EF的長為定值，

∴此時得到的點E、F使四邊形AGEF的周長最小

∵OE∥AN，∴Rt△OEG′∽Rt△NM G′，∴ ＝ ，

∴OE＝ ·NM＝ (AN－AM)＝ ×(4－1.6)＝ 0.8．

∴點OE的長度為0.8．

【解析】（1）由切線的定義，圓心到一直線上的距離等于半徑，則這條線是該圓的切線；所以此題可作OD⊥AB于D ， 求出OD的長，即可證明；
（2）根據(jù)三角形的面積=底×高，可作作DH∥BC交AC于H ， 求出底邊AC上的高DH的長，則由平行線分線段成比例可得 ， 代入相關(guān)數(shù)據(jù)，即可解出DH，從而求出S△ACD；
（3）根據(jù)軸對稱-求最短路徑的原理，連接GO與⊙O相交于點G′ ， 由垂徑定理得OG＝OG′ ， 因為EF在OC上，所以可過A作AN//OG相交于N ， 在AN上截取AM＝1.6， 在EC上截取EF＝1.6，此時，G′ ， E，M三點共線，則G′E+EM值最小，即GE+AF最小，由AG、EF的長為定值，則此時四邊形AGEF的周長最��；則可根據(jù)OE∥AN ， 得到Rt△OEG′∽Rt△NM G′ ， 根據(jù)相似比解出OE即可.
【考點精析】掌握切線的判定定理是解答本題的根本，需要知道切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．