Question

已知直線y=2x-5與x軸和y軸分別交于點A和點B，拋物線y=-x²+bx+c的頂點M在直線AB上，且拋物線與直線AB的另一個交點為N．
（1）如圖，當點M與點A重合時，求：
①拋物線的解析式；
②點N的坐標和線段MN的長；
（2）拋物線y=-x²+bx+c在直線AB上平移，是否存在點M，使得△OMN與△AOB相似？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）①首先求得直線與x軸，y軸的交點坐標，利用二次函數(shù)的對稱軸的公式即可求解；
②N在直線上同時在二次函數(shù)上，因而設N的橫坐標是a，則在兩個函數(shù)上對應的點的縱坐標相同，據(jù)此即可求得a的值，即N的坐標，過N作NC⊥x軸，垂足為C，利用勾股定理即可求得MN的長；
（2）△AOB的三邊長可以求得OB=2OA，AB邊上的高可以求得是，拋物線y=-x²+bx+c在直線AB上平移，則MN的長度不變，根據(jù)（1）的結果是2，MN是AB邊上的高的二倍，當OM⊥AB或ON⊥AB時，兩個三角形相似，據(jù)此即可求得M的坐標．
解答：解：（1）①∵直線y=2x-5與x軸和y軸交于點A和點B，
∴，B（0，-5）．                             
解法一：當頂點M與點A重合時，∴．
∴拋物線的解析式是：．即．   
解法二：當頂點M與點A重合時，∴．
∵，∴b=5．
又∵，∴．
∴拋物線的解析式是：．                 
②∵N在直線y=2x-5上，設N（a，2a-5），又N在拋物線上，
∴．                 
解得  ，（舍去）
∴．                             
過N作NC⊥x軸，垂足為C．
∵，∴．
∴NC=4． ．   
∴；

   
（2）∵，B（0，-5）．                             
∴OA=，OB=5，直線AB的解析式是：y=2x-5，
則OB=2OA，AB==，
當OM⊥AB時，直線OM的解析式是：y=-x，
解方程組：，
解得：，
則M的坐標是（2，-1）；
當ON⊥AB時，N的坐標是（2，-1），設M的坐標是（m，2m-5）則m＞2，
∵ON=，
∴OM²=ON²+MN²，
即m²+（2m-5）²=5+（2）²，
解得：m=4，
則M的坐標是M（4，3）．
故M的坐標是：（2，-1）或（4，3）．
點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，注意到MN是AB邊上的高的二倍，當OM⊥AB或ON⊥AB時，兩個三角形相似是解題的關鍵．