Question

如圖，在平面直角坐標系中，A、C、D的坐標分別是（1，2）、（4，0）、（3，2），點M是AD的中點．
【小題1】求證：四邊形AOCD是等腰梯形；
【小題2】動點P、Q分別在線段OC和MC上運動，且保持∠MPQ=60°不變．設PC=x，MQ=y，求y與x的函數關系式；
【小題3】在（2）中：試探究當點P從點O首次運動到點E（3，0）時，Q點運動的路徑長．

Answer 1

【小題1】見解析
【小題2】
【小題3】當P點從O點運動到點E(3，0)時，Q點運動的路徑長為個單位解析:
(1)∵ y_A=y_B= ∴ AD//OC，
又線段AD、OC有共同對稱軸直線x=2，
∴OA=CD且AD≠OC
∴ 梯形AOCD是等腰梯形 …………………………… 4分

(2)易證△OMC是等邊三角形 所以OM=OC=MC=4
∠MDC=∠QCP=60°  又∠MPQ="60°"
∴∠1+∠2=∠1+∠3=120°
∴∠2=∠3  所以△OMP∽△CPQ 
∴ 
化為  …………………………… 8分
(3)∵0≤x≤4

∴ x=2時，y_min=3 即MQ=3
x=0時， y=4  即MQ=4
x=3時， y= 即MQ=
當0≤x≤2時，Q點運動路徑長為4-3=1
當2<x≤3時，Q點運動路徑長為
∴當P點從O點運動到點E(3，0)時，
Q點運動的路徑長為個單位