Question

已知：如圖，△ABC是邊長為20cm的等邊三角形，D為AC邊上的一個動點，延長AB至E，使BE=CD，連接DE交BC于F．
（1）求證：DF=EF；
（2）如果D是AC的中點，求BF的長．

Answer 1

解：（1）過點D作DG∥AB交BC于G，
∴∠CGD=∠CBA，∠CDG∠A．∠ADF=∠E，∠DGF=∠EBF．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠CBA=∠BAC=∠C=60°．
∴∠CGD=∠CDG=∠C=60°，
∴△CGD是等邊三角形，
∴GD=CD=CG．
∵BE=CD，
∴GD=BE．
在△GDF和△BEF中，
，
∴△GDF≌△BEF（ASA），
∴DF=EF；
（2）D是AC的中點，
∴CD=AD=AC．
∵AC=20cm，
∴CD=10cm，
∴CG=10cm．
∴GB=10cm．
∵△GDF≌△BEF，
∴GF=BF．
∴BF=5cm．
分析：（1）過點D作DG∥AB交BC于G，由等邊三角形的性質(zhì)就可以得出GD=CD，就可以得出△GDF≌△BEF，就可以得出結(jié)論；
（2）由D是AC的中點就可以求出CD的值，而求得CG的值，由（1）的結(jié)論你就可以求出結(jié)論．
點評：本題考查的等邊三角形的性質(zhì)的運用，平行線的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．