Question

16、在1、0交替出現(xiàn)且以1打頭和結(jié)尾的所有整數(shù)（101，10101，10101…）中有多少個質(zhì)數(shù)？為什么？并求出所有質(zhì)數(shù)．

Answer 1

分析：101是質(zhì)數(shù)，設(shè)X（n）=1010…101，則X（n）×11=Y（2n+2），然后分n是大于1的奇數(shù)和n是偶數(shù)兩種情況進行討論，即可作出判斷．

解答：解：為便于表示，設(shè)X（n）=1010…101，其中0的個數(shù)等于n．即X（1）=101，X（2）=10101，等等．
再設(shè)Y（n）=111…1，其中1的個數(shù)等于n．即Y（1）=1，Y（2）=11，Y（4）=1111，等等
易得X（n）×11=Y（2n+2）
現(xiàn)分奇偶討論，當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時，設(shè)n=2k+1，則X（n）×11=Y（2n+2）=Y（4k+4）
此時有1111|Y（4k+4）成立，可設(shè)1111m=Y（4k+4），
則1111m=X（n）×11，X（n）=101m，由于n＞1時，m＞1，因此X（n）為合數(shù)．
當(dāng)n為偶數(shù)時，X（n）×11=Y（2n+2），由于Y（n+1）|Y（2n+2），可設(shè)Y（n+1）×m=Y（2n+2）
由于n+1是奇數(shù)，所以Y（n+1）≡1（mod 11），即11不整除Y（n+1），而11又是Y（2n+2）的因數(shù)，所以必有11|m，設(shè)m=11p
則有X（n）×11=Y（2n+2）=Y（n+1）×11p，即X（n）=Y（n+1）×p，X（n）為合數(shù)．
綜上，只有101是這樣的數(shù)中的唯一的質(zhì)數(shù)．

點評：本題主要考查了質(zhì)數(shù)的判斷，正確找到101，10101，10101…中，各個數(shù)之間的關(guān)系：X（n）×11=Y（2n+2），是解題的關(guān)鍵．