Question

如圖，正方形AEFG的頂點(diǎn)E在正方形ABCD的邊CD上，AD的延長(zhǎng)線交EF于H點(diǎn)．
（1）試說(shuō)明：△AED∽△EHD；
（2）若E為CD的中點(diǎn)，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，求DH的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和等角的余角相等，即可證明兩個(gè)三角形中，有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，從而證明兩個(gè)三角形相似；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答：（1）證明：∵正方形AEFG和正方形ABCD中，∠AEH=∠ADC=∠EDH=90°，
∴∠AED+∠DEH=90°，∠AED+∠DAE=90°，
∴∠DEH=∠DAE．
∴△AED∽△EHD．

（2）解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，
∴AD=CD=4．
∵E為CD的中點(diǎn)，
∴DE=2．
∵△AED∽△EHD，
∴

AD

DE

=

DE

DH

，
∴

4

2

=

2

HD

．
∴DH=1．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)．