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已知:如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB為⊙O的直徑,,點(diǎn)D是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AD、CD和BD,BD與AC相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作PC⊥CD于C,PC與BD相交于點(diǎn)P,連接OP和AP.
(1)求證:AD=BP;
(2)如圖1,若,求證:DC∥AP;
(3)如圖2,設(shè)AD=x,四邊形APCD的面積為y,求y與x之間的關(guān)系式.

【答案】分析:(1)根據(jù)PC與CD垂直,由垂直定義得到∠PCD為直角,又AB為圓的直徑,由直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠ACB與∠ADB也為直角,根據(jù)同角的余角相等得到∠ACD與∠BCP相等,又AC=BC得到三角形ABC為等腰直角三角形,進(jìn)而得到∠CAB=45°,根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠CDP=45°,即三角形DCP為等腰直角三角形,所以CD=CP,利用”SAS“即可得到三角形ACD與三角形BCP全等,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AD=PB;
(2)根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠ABD=∠ACD,則tan∠ACD=tan=∠ABD,在直角三角形ABD中,由正切函數(shù)定義得到AD等于BD的一半,由(1)得到AD=PB代入比例式得到P為BD中點(diǎn),即AP為直角三角形ABD斜邊上的中線,則AP=DP,所以三角形ADP為等腰直角三角形,所以∠APD=45°,又∠CDP=45°,得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等,從而得到兩直線平行,得證;
(3)四邊形APBC的面積可以分為三角形ACD和三角形APC的面積之和,而三角形ACD與三角形BCP全等,故四邊形的面積可以等于三角形BCP和三角形APC的面積之和,即三角形ABC的面積減去三角形ABP的面積,而P為BD中點(diǎn),根據(jù)等底同高得到三角形ABP的面積與三角形ADP的面積相等,從而得到四邊形的面積等于三角形ABC的面積減去三角形ADP的面積,然后由這兩個(gè)三角形都為等腰直角三角形且直角邊分別為5和x,利用三角形的面積公式即可表示出y與x的函數(shù)關(guān)系式,同時(shí)求出自變量x的范圍.
解答:(1)證明:∵PC⊥CD,AB為⊙O的直徑,
∴∠DCP=∠ACB=∠ADB=90°,
∵∠DCP=∠ACD+∠ACP,∠ACB=∠ACP+∠BCP,
∴∠ACD=∠BCP,
∵AC=BC,且∠ACB=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠BAC=45°,
∴∠BDC=∠BAC=45°,
∴△DCP是等腰直角三角形
∴DC=PC,又∠ACD=∠BCP,AC=BC,
∴△ADC≌△BPC,
∴AD=BP;(3分)

(2)證明:∵∠ABD=∠ACD,
(4分)
,∴,
∴P是BD的中點(diǎn),(5分)
∴AD=PB=PD,
∴△ADP是等腰直角三角形,
∴∠APD=45°,又∠BDC=45°,
∴∠APD=∠BDC,
∴DC∥AP;(6分)

(3)解:∵△ADC≌△BPC,∴S△ACD=S△BCP,
又∵S△ABP=S△ADP,△ADP為等腰直角三角形,AD=DP=x,
∴S△ADP=,
,△ABC為等腰直角三角形,
∴S△ABC=×5×5=25,
則y=S△ACP+S△ACD=S△ACP+S△BCP
=S△ABC-S△ABP
=S△ABC-S△ADP
=)(7分)
點(diǎn)評(píng):此題考查了圓周角定理,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì),以及面積的變換與求法.此題的綜合性比較強(qiáng),難度比較大,在解題時(shí)充分利用以上相關(guān)知識(shí)來考慮,在對(duì)全等三角形進(jìn)行證明時(shí),關(guān)鍵是找出對(duì)應(yīng)相等的量,在圓中要關(guān)注圓周角,等弧,等弦這些相關(guān)量,要注意建立和加強(qiáng)知識(shí)間的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系,建立良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系,從而更好的提取知識(shí),應(yīng)用知識(shí),發(fā)展數(shù)學(xué)思維.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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17、已知,如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,BE平分∠ABC,交AD于點(diǎn)M,AN平分∠DAC,交BC于點(diǎn)N.
求證:四邊形AMNE是菱形.

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已知:如圖,△ABC中,AB=AC=10,BC=16,點(diǎn)D在BC上,DA⊥CA于A.
求:BD的長.

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已知:如圖,△ABC中,AD⊥BC,BD=DE,點(diǎn)E在AC的垂直平分線上.
(1)請(qǐng)問:AB、BD、DC有何數(shù)量關(guān)系?并說明理由.
(2)如果∠B=60°,請(qǐng)問BD和DC有何數(shù)量關(guān)系?并說明理由.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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