Question

【題目】如圖，已知直線PT與⊙O相切于點T，直線PO與⊙O相交于A，B兩點．
（1）求證：PT2=PAPB；
（2）若PT=TB= ，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OT．

∵PT是⊙O的切線，

∴PT⊥OT，

∴∠PTO=90°，

∴∠PTA+∠OTA=90°，

∵AB是直徑，

∴∠ATB=90°，

∴∠TAB+∠B=90°，

∵OT=OA，

∴∠OAT=∠OTA，

∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，

∴△PTA∽△PBT，

∴ = ，

∴PT2=PAPB．

（2）∵TP=TB= ，

∴∠P=∠B=∠PTA，

∵∠TAB=∠P+∠PTA，

∴∠TAB=2∠B，

∵∠TAB+∠B=90°，

∴∠TAB=60°，∠B=30°，

∴tanB= = ，

∴AT=1，

∵OA=OT，∠TAO=60°，

∴△AOT是等邊三角形，

∴S陰=S扇形OAT﹣S△AOT= ﹣ 12= ﹣

【解析】（1）連接OT，只要證明△PTA∽△PBT，可得 = ，由此即可解決問題；（2）首先證明△AOT是等邊三角形，根據(jù)S陰=S扇形OAT﹣S△AOT計算即可；
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用切線的性質(zhì)定理和扇形面積計算公式的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．