【題目】問題背景:如圖1設(shè)P是等邊△ABC內(nèi)一點,PA=6,PB=8,PC=10,求∠APB的度數(shù).小君研究這個問題的思路是:將△ACP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABP',易證:△APP'是等邊三角形,△PBP'是直角三角形,所以∠APB=∠APP'+∠BPP'=150°.
簡單應(yīng)用:(1)如圖2,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°.P為△ABC內(nèi)一點,且PA=5,PB=3,PC=2,則∠BPC= °.
(2)如圖3,在等邊△ABC中,P為△ABC內(nèi)一點,且PA=5,PB=12,∠APB=150°,則PC= .
拓展廷伸:(3)如圖4,∠ABC=∠ADC=90°,AB=BC.求證:BD=AD+DC.
(4)若圖4中的等腰直角△ABC與Rt△ADC在同側(cè)如圖5,若AD=2,DC=4,請直接寫出BD的長.
【答案】(1)135;(2)13;(3)見解析;(4)
【解析】
簡單應(yīng)用:(1)先利用旋轉(zhuǎn)得出BP'=AP=5,∠PCP'=90°,CP'=CP=2,再根據(jù)勾股定理得出PP'=CP=4,最后用勾股定理的逆定理得出△BPP'是以BP'為斜邊的直角三角形,即可得出結(jié)論;
(2)同(1)的方法得出∠APP'=60°,進(jìn)而得出∠BPP'=∠APB﹣∠APP'=90°,最后用勾股定理即可得出結(jié)論;
拓展廷伸:(3)先利用旋轉(zhuǎn)得出BD'=BD,CD'=AD,∠BCD'=∠BAD,再判斷出點D'在DC的延長線上,最后用勾股定理即可得出結(jié)論;
(4)先利用旋轉(zhuǎn)得出BD'=BD,CD=AD',∠DBD'=90°,∠BCD=∠BAD',再判斷出點D'在AD的延長線上,最后用勾股定理即可得出結(jié)論.
解:簡單應(yīng)用:(1)如圖2,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ACB=90°,AC=BC,將
△ACP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBP',連接PP',
∴BP'=AP=5,∠PCP'=90°,CP'=CP=2,
∴∠CPP'=∠CP'P=45°,
根據(jù)勾股定理得,PP'=CP=4,
∵BP'=5,BP=3,∴PP'2+BP2=BP',
∴△BPP'是以BP'為斜邊的直角三角形,
∴∠BPP'=90°,
∴∠BPC=∠BPP'+∠CPP'=135°,
故答案為:135;
(2)如圖3,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠BAC=60°,AC=AB,
將△ACP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABP',連接PP',
∴BP'=CP,AP'=AP=5,∠PAP'=60°,
∴△APP'是等邊三角形,
∴PP'=AP=5,∠APP'=60°,
∵∠APB=150°,
∴∠BPP'=∠APB﹣∠APP'=90°,
根據(jù)勾股定理得,BP'==13,
∴CP=13,
故答案為:13;
拓展廷伸:(3)如圖4,
在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,
將△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCD',
∴BD'=BD,CD'=AD,∠BCD'=∠BAD,
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∴∠BCD+∠BCD'=180°,
∴點D'在DC的延長線上,
∴DD'=CD+CD'=CD+AD,
在Rt△DBD'中,DD'=BD,
∴BD=CD+AD;
(4)如圖5,
在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,
連接BD,將△CBD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABD',
∴BD'=BD,CD=AD',∠DBD'=90°,∠BCD=∠BAD',
AB與CD的交點記作G,
∵∠ADC=∠ABC=90°,
∴∠DAB+∠AGD=∠BCD+∠BGC=180°,
∵∠AGD=∠BGC,
∴∠BAD=∠BCD,
∴∠BAD=∠BAD',
∴點D'在AD的延長線上,
∴DD'=AD'﹣AD=CD﹣AD=2,
在Rt△BDD'中,BD=DD'=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點P是矩形ABCD的邊上一動點,矩形兩邊長AB、BC長分別為15和20,那么P到矩形兩條對角線AC和BD的距離之和是( 。
A.6B.12C.24D.不能確定
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中, 拋物線如圖所示.已知點的坐標(biāo)為,過點作軸交拋物線于點,過點作交拋物線于點,過點作軸交拋物線于點,過點作交拋物線于點…若依次進(jìn)行下去,則點的坐標(biāo)為________.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等且非零的實數(shù)根,探究滿足的條件.
小華根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,認(rèn)為可以從二次函數(shù)的角度研究一元二次方程的根的符號。下面是小華的探究過程:第一步:設(shè)一元二次方程對應(yīng)的二次函數(shù)為;
第二步:借助二次函數(shù)圖象,可以得到相應(yīng)的一元二次方程中滿足的條件,列表如下表。
方程兩根的情況 | 對應(yīng)的二次函數(shù)的大致圖象 | 滿足的條件 |
方程有兩個不相等的負(fù)實根 | ||
①_______ | ||
方程有兩個不相等的正實根 | ② | ③____________ |
(1)請將表格中①②③補充完整;
(2)已知關(guān)于的方程,若方程的兩根都是正數(shù),求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=﹣x2+bx+c的對稱軸為直線x=2,且頂點在x軸上.
(1)求b、c的值;
(2)畫出拋物線的簡圖并寫出它與y軸的交點C的坐標(biāo);
(3)根據(jù)圖象直接寫出:點C關(guān)于直線x=2對稱點D的坐標(biāo) ;若E(m,n)為拋物線上一點,則點E關(guān)于直線x=2對稱點的坐標(biāo)為 (用含m、n的式子表示).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】反比例函數(shù)(為常數(shù).且)的圖象經(jīng)過點..
(1)求反比例函數(shù)的解析式及點的坐標(biāo);
(2)在軸上找一點.使的值最小,
①求滿足條件的點的坐標(biāo);②求的面積.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為落實“垃圾分類”,環(huán)衛(wèi)部門要求垃圾要按A,B,C三類分別裝袋,投放,其中A類指廢電池,過期藥品等有毒垃圾,B類指剩余食品等廚余垃圾,C類指塑料,廢紙等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾,乙投放了兩袋垃圾,這兩袋垃圾不同類.
(1)直接寫出甲投放的垃圾恰好是A類的概率;
(2)求乙投放的垃圾恰有一袋與甲投放的垃圾是同類的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知中,,的面積為42.
(1)如圖,若點分別是邊的中點,則四邊形的面積是__________.
(2)如圖,若圖中所有的三角形均相似,其中最小的三角形面積為1,則四邊形的面積是___________.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com