Question

11．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，D在BC上且∠BAD=15°，E是AD上的一點，現(xiàn)以CE為直角邊，C為直角頂點在CE的下方作等腰直角三角形ECF，連接BF．
（1）請問當E在AD上運動時（不與A、D重合），∠ABF的大小是否發(fā)生改變？若不改變，請求出∠ABF的度數(shù)；若要改變，請說出它是如何改變的；
（2）若AB=6$\sqrt{2}$，點G為射線BF上的一點，當CG=5時，求BG的長．

Answer 1

分析 （1）注意到三角形CFB與三角形CEA全等，從而∠FBC=∠CAE，由條件可知∠CAE=30°，則∠ABF顯然為定值；
（2）由于題目并沒說G點在F點的左側(cè)還是右側(cè)，因此有兩種情況．由于∠CBF=30°，故作CM垂直BF于M，則CM、BM可求，CG已知，由勾股定理可求出MG，從而可輕松算出答案．

解答 解：不變，∠ABF=75°．
證明：如圖1，

∵∠ACB=∠ECF=90°，
∴∠ACE=∠BCF，
∵AC=CB，CE=CF，
∴△ACE≌BCF，
∴∠CAE=∠CBF，
∵∠BAD=15°，∠CAB=∠ABC=45°，
∴∠CBF=∠CAE=30°，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=75°．
（2）作CM⊥BF，垂足為M，如圖2，

∵AB=6$\sqrt{2}$，
∴BC=AC=6，
∴CM=4，BM=4$\sqrt{3}$，
∵CG₁=5，
∴MG₁=4，
∴BG₁=4+4$\sqrt{3}$，
同理可得：BG₂=4$\sqrt{3}$-4．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及其應用、勾股定理的應用、含特殊角的直角三角形的性質(zhì)，難度中等．在求解線段長度時，“將特殊角放入直角三角形中”是基本原則，要引起重視，另外，注意本題第（2）問有兩種情況，不要漏解．