Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50，點P是AB邊上任意一點，直線PE⊥AB，與邊AC相交于E，此時Rt△AEP∽Rt△ABC，點M在線段AP上，點N在線段BP上，EM=EN，EP:EM=12:13.

（1）如圖1，當(dāng)點E與點C重合時，求CM的長；

（2）如圖2，當(dāng)點E在邊AC上時，點E不與點A，C重合，設(shè)AP=x，BN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍.

 

Answer 1

（1）CM=26；（2）y=50-x，0<x<32

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)已知條件得出AC的值，再根據(jù)CP⊥AB求出CP，從而得出CM的值；

（2）先根據(jù)sin∠EMP=，設(shè)出EP的值，從而得出EM和PM的值，再得出△AEP∽△ABC，即可求出，求出a的值，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并且能求出x的取值范圍．

解： （1）∵∠ACB=90°，

∴，

∵CP⊥AB，

∴

∴，

∴CP=24，

∴；

（2）∵sin∠EMP=，

∴設(shè)EP=12a，則EM=13a，PM=5a，

∵EM=EN，

∴EN=13a，PN=5a，

∵△AEP∽△ABC，

∴，

∴，

∴x=16a，

∴，

∴BP=50-16a，

∴y=50-21a=50-21×=50-

∵當(dāng)E點與A點重合時，x=0．當(dāng)E點與C點重合時，x=32．

∴x的取值范圍是：（0＜x＜32）.