Question

如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=CD=12，E是邊CD上一點，∠BAE=45°，BE、AD的延長線交于點F，若BE=10，則DF的長為

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,勾股定理,正方形的性質,相似三角形的判定與性質

專題：

分析：由條件直接證明三角形全等就可以得出AE=AH．然后可以證明△ABE≌△ABH，可以得出BE=BH，可以得出BE=BG+ED．過點A作AG⊥BC交CB的延長線于點G，延長BG使GH=DE，從而運用BE=BG+ED可以表示出DE、BE、BG，由勾股定理就可以求出DE的值，然后根據三角形相似，求得DF長．

解答：
解：過點A作AG⊥BC交CB的延長線于點G，延長BG使GH=DE，連結AH．
在Rt△ADE與Rt△AGH中 

DE=GH AD=AG

∴Rt△ADE≌Rt△AGH（HL），
∴∠GAH=∠DAE，AH=AE，
∵AG⊥BC，∠BAE=45°，
∴∠BAH=∠BAE=45°，
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∠C=90°，∠ADC=90°，AD=DC，
∴四邊形AGCD是正方形．
在△ABE與△ABH中

AH=AE ∠BAH=∠BAE AB=AB

∴△ABE≌△ABH（SAS），
∴BE=BH=BG+GH=BG+DE，
設DE=x，則CE=12-x，BC=12-（10-x）=2+x，
在Rt△BCE中
BE²=BC²+CE²，
10²=（2+x）²+（12-x）²，
解得：x=4或x=6，
當x=4時，
∴CE=12-x=8，
BC=2+x=6，
∵AD∥BC，
∴

DF

BC

=

DE

EC

∴DF=

DE

EC

×BC=3．
當x=6時，
同理可得CE=6，BC=8，
∴DF=

DE

EC

×BC=8．
故答案為：3或8．

點評：本題考查了正方形的性質和全等三角形的判定與性質，勾股定理的運用及直角梯形的性質，學生熟練掌握這些性質定理是正確解答的基礎．