Question

如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，點，為兩動點，其中，連結(jié)，．

（1）求證：；

（2）當(dāng)時，拋物線經(jīng)過兩點且以軸為對稱軸，求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，設(shè)直線交軸于點，過點作直線交拋物線于兩點，問是否存在直線，使？若存在，求出直線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）作軸于點，軸于點，

    點坐標(biāo)分別為，，

又，易證，．

（2）由（1）得，，又，，

即.又

坐標(biāo)為坐標(biāo)為，

易得拋物線解析式為．

（3）直線為，且與軸交于點，

假設(shè)存在直線交拋物線于兩點，且使，如圖所示，

則有，作軸于點， 軸于點，

在拋物線上，設(shè)坐標(biāo)為，

則，易證，，

，，

點坐標(biāo)為點在拋物線上，

，解得，坐標(biāo)為，

坐標(biāo)為，

易得直線為．

根據(jù)拋物線的對稱性可得直線另解為．

【解析】（1）作BC⊥x軸于C點，AD⊥x軸于D點.因為，可得∠BOC+∠AOD=90°.因為BC⊥x，所以易證∠∠AOD=∠OBC,從而得△CBO∽△DOA，利用線段比求出mn．

（2）由（1）得m與BO的關(guān)系式，根據(jù)勾股定理得BO與n的關(guān)系式，從而建立m與n的一個關(guān)系式，然后利用（1）中mn=-6，求得m、n的值．然后得A，B的坐標(biāo)以及拋物線解析式．

（3）利用待定系數(shù)法求出直線AB解析式，從而求出F點的坐標(biāo).過作PM⊥y軸于M點，QN⊥y軸于N點，根據(jù)同底等高的三角形面積比等于高的比得PM:QN=1:3.易證△PMF∽△QNF，設(shè)坐標(biāo)為，易得QN、NF、ON的長，進(jìn)而表示出點Q的坐標(biāo).因為點Q在二次函數(shù)上，所以求得t的值.從而得直線的解析式，根據(jù)對稱性得到第二條直線的解析式.