Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC上的一點(diǎn)，且BF＝3CF，連接AE、AF、EF，下列結(jié)論：①△ADE∽△ECF，②∠DAE＝∠EAF，③AE2＝ADAF，④S△AEF＝5S△ECF，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】D

【解析】

】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a，根據(jù)題意用a表示出FC，BF，CE，DE，根據(jù)相似三角形的判定定理，勾股定理，正切的定義，相似三角形的性質(zhì)定理判斷即可．

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a，

則FC＝a，BF＝3a，CE＝DE＝2a，

∴＝2，＝2，

∴，又∠D＝∠C，

∴△ADE∽△ECF，①正確；

由勾股定理得，EF＝，AE＝，

AF=，

tan∠DAE＝，tan∠EAF＝，

∴∠DAE＝∠EAF，②正確；

AE2＝(2a)2＝20a2，ADAF＝4a5a＝20a2，

∴AE2＝ADAF，③正確；

∵AE2＝ADAF，

∴，又∠DAE＝∠EAF，

∴△ADE∽△AEF，

∴△ECF∽△AEF，

∴＝5，

∴S△AEF＝5S△ECF，⑤正確；

故選：D．