Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（12，0）、（12，6），直線y=-x+b與y軸交于點(diǎn)P，與邊OA交于點(diǎn)D，與邊BC交于點(diǎn)E．
（1）若直線y=-x+b平分矩形OABC的面積，求b的值；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)直線y=-x+b繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，與直線BC和x軸分別交于點(diǎn)N、M，問(wèn)：是否存在ON平分∠CNM的情況？若存在，求線段DM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在（1）的條件下，將矩形OABC沿DE折疊，若點(diǎn)O落在邊BC上，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不在邊BC上，求將（1）中的直線沿y軸怎樣平移，使矩形OABC沿平移后的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在邊BC上．

Answer 1

解：（1）∵直線y=-x+b平分矩形OABC的面積，
∴其必過(guò)矩形的中心
由題意得矩形的中心坐標(biāo)為（6，3），
∴3=-×6+b
解得b=12；

（2）如圖1假設(shè)存在ON平分∠CNM的情況
①當(dāng)直線PM與邊BC和邊OA相交時(shí)，過(guò)O作OH⊥PM于H
∵ON平分∠CNM，OC⊥BC，
∴OH=OC=6
由（1）知OP=12，
∴∠OPM=30°
∴OM=OP•tan30°=
當(dāng)y=0時(shí)，由-x+12=0解得x=8，
∴OD=8
∴DM=8-；
②當(dāng)直線PM與直線BC和x軸相交時(shí)
同上可得DM=8+（或由OM=MN解得）；

（3）如圖2假設(shè)沿DE將矩形OABC折疊，點(diǎn)O落在邊BC上O′處連接PO′、OO′，則有PO′=OP
由（1）得BC垂直平分OP，∴PO′=OO′
∴△OPO′為等邊三角形，∴∠OPD=30°
而由（2）知∠OPD＞30°
所以沿DE將矩形OABC折疊，點(diǎn)O不可能落在邊BC上；
如圖3設(shè)沿直線y=-x+a將矩形OABC折疊，點(diǎn)O恰好落在邊BC上O′處
連接P′O′、OO′，則有P′O′=OP′=a
由題意得：CP′=a-6，∠OPD=∠AO′O
在Rt△OPD中，tan∠OPD=
在Rt△OAO′中，tan∠AO′O=
∴=，即=，AO′=9
在Rt△AP′O′中，由勾股定理得：（a-6）²+9²=a²
解得a=，12-=
所以將直線y=-x+12沿y軸向下平移個(gè)單位得直線y=-x+，將矩形OABC沿直線y=-x+折疊，點(diǎn)O恰好落在邊BC上．

分析：（1）根據(jù)直線y=-x+b平分矩形OABC的面積，知道其必過(guò)矩形的中心，然后求得矩形的中心坐標(biāo)為（6，3），代入解析式即可求得b值；
（2）假設(shè)存在ON平分∠CNM的情況，分當(dāng)直線PM與邊BC和邊OA相交和當(dāng)直線PM與直線BC和x軸相交這兩種情況求得DM的值就存在，否則就不存在；
（3）假設(shè)沿DE將矩形OABC折疊，點(diǎn)O落在邊BC上O′處，連接PO′、OO′，得到△OPO′為等邊三角形，從而得到∠OPD=30°，然后根據(jù)（2）知∠OPD＞30°，得到沿DE將矩形OABC折疊，點(diǎn)O不可能落在邊BC上；若設(shè)沿直線y=-x+a將矩形OABC折疊，點(diǎn)O恰好落在邊BC上O′處，連接P′O′、OO′，則有P′O′=OP′=a，在Rt△OPD和Rt△OAO′中，利用正切的定義求得a值即可得到將矩形OABC沿直線折疊，點(diǎn)O恰好落在邊BC上；
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，特別是在（2）（3）小題中對(duì)可能出現(xiàn)的各種情況都進(jìn)行了分類討論，題目綜合性強(qiáng)，難度較大．