Question

【情境】某課外興趣小組在一次折紙活動課中．折疊一張帶有條格的長方形的紙片ABCD（如圖1），將點B分別與點A，A₁，A₂，…，D重合，然后用筆分別描出每條折痕與對應(yīng)條格線所在的直線的交點，用平滑的曲線順次連結(jié)各交點，得到一條曲線．

【探索】
（1）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，將矩形紙片ABCD的頂點B與原點O重合，BC邊放在x軸的正半軸上，AB邊放在y軸的正半軸上，AB=m，AD=n，（m≤n）．將紙片折疊，使點B落在邊AD上的點E處，過點E作EQ⊥BC于點Q，折痕MN所在直線與直線EQ相交于點P，連結(jié)OP．求證：四邊形OMEP是菱形；
【歸納】
（2）設(shè)點P坐標是（x，y），求y與x的函數(shù)關(guān)系式（用含m的代數(shù)式表示）．
【運用】
（3）將矩形紙片ABCD如圖3放置，AB=8，AD=12，將紙片折疊，當點B與點D重合時，折痕與DC的延長線交于點F．試問在這條折疊曲線上是否存在點K，使得△KCF的面積是△KOC面積的

5

3

？若存在，寫出點K的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）利用翻折變換的性質(zhì)以及等角對等邊得出ME=EP以及OM=EP，進而求出四邊形OMEP是平行四邊形，再得出四邊形OMEP是菱形；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出OP=PE，進而利用勾股定理得出y與x的函數(shù)關(guān)系；
（3）首先得出CF，CO，KH，KG的長，再利用S_△KCF=

1

2

CF×KG，S_△KOC=

1

2

CO×KH，S△KCF=

5

3

S△KOC，進而得出即可．

解答：（1）證明：如圖3，由題意知：OM=ME，∠OMN=∠EMN，
∵OM∥EP，∴∠OMN=∠MPE．
∴∠EMN=∠MPE．
∴ME=EP．∴OM=EP．
∴四邊形OMEP是平行四邊形．
又∵ME=EP，∴四邊形OMEP是菱形；

（2）解：∵四邊形OMEP是菱形，
∴OP=PE，∴OP²=PE²，
∵EQ=OA=m，PQ=y，
∴PE=m-y．∴PE²=（m-y）²=m²-2my+y²．
∵OP²=x²+y²，PE²=m²-2my+y²，
∴x²+y²=m²-2my+y²．
∴y=-

1

2m

x2+

m

2

，(0≤x≤n)；

（3）解：如圖3，假設(shè)折疊曲線上存在點K滿足條件．
當m=8時，y=-

1

16

x²+4．
作KG⊥DC于G，KH⊥OC于H．設(shè)K（x，y），
則KG=12-x，KH=y．
當x=12時，y=-5．
∴F（12，-5），
∴CF=5．
∴S_△KCF=

1

2

CF×KG=

1

2

×5×（12-x）
S_△KOC=

1

2

CO×KH=

1

2

×12y，
∵S△KCF=

5

3

S△KOC，
∴

1

2

×5•(12-x)=

5

3

×

1

2

×12•y，
∴y=

12-x

4

．
∴K（x，

12-x

4

）．
∵點K在y=-

1

16

x2+4上，
∴

12-x

4

=-

1

16

x2+4．
化簡得：x²-4x-16=0，
解得：x₁=2+2

5

，x₂=2-2

5

（舍去），
當x1=2+2

5

時，y=

5- 5

2

．
∴存在點K（2+2

5

，

5- 5

2

）．

點評：此題主要考查了幾何變換以及菱形的判定與性質(zhì)和三角形面積求法等知識，正確表示出S_△KCF，S_△KOC是解題關(guān)鍵．