Question

在△ABC中，∠B=38°，AD是BC邊上的高，并且AD²=BD•DC，則∠BCA的度數(shù)為________．

Answer 1

52°或128°
分析：分兩種情況考慮：當∠BCA為銳角和鈍角，將已知的積的恒等式化為比例式，再根據(jù)夾角為直角相等，利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出△ADB∽△CDA，由相似三角形的對應(yīng)角相等，利用直角三角形的兩銳角互余及外角性質(zhì)分別求出兩種情況下∠BCA的度數(shù)即可．
解答：解：分兩種情況：
①當∠BCA為銳角時，如圖1所示，
∵AD²=BD•DC，
∴=，
又AD⊥BC，
∴∠ADB=∠CDA=90°，
∴△ADB∽△CDA，
∴∠B=∠CAD=38°，∠BAD=∠BCA．
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=38°，
∴∠BAD=52°，
∴∠BCA=∠BAD=52°；
②當∠BCA為鈍角時，如圖2所示，
同理可得△ADB∽△CDA，又∠B=38°，
可得∠CAD=∠B=38°，
則∠BCA=∠CDA+∠CAD=128°．
綜上，∠BCA的度數(shù)為52°或128°．
故答案為：52°或128°．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，以及外角的性質(zhì)，利用了分類討論的思想，其中相似三角形的判定方法有：兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似；三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似；兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似．