Question

17．如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF=BE．
（1）①試說明CE=CF，∠BCE=∠DCF；
②如圖1，若點G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=GF成立嗎？為什么？
（2）運用（1）中積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：
如圖2，在梯形ABCG中，AG∥BC，BC＞AG，∠B=90°，AB=BC=6，E是AB上 一點，且∠GCE=45°，BE=2，求GE的長．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC=CD，再利用“邊角邊”證明△BCE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等的單結(jié)論；
②根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BCE=∠DCF，再求出∠GCF=45°，從而得到∠GCF=∠GCE，再利用“邊角邊”證明△GCE和△GCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EG=GF；
（2）設(shè)EG=x，根據(jù)（1）的結(jié)論表示出AG，再求出AE，然后在Rt△AEG中，利用勾股定理列出方程求解即可．

解答 （1）①證明：在正方形ABCD中，BC=CD，
在△BCE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠B=∠CDF=90°}\\{DF=BE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴CE=CF；，∠BCE=∠DCF

②EG=BE+GD．
理由如下：∵△BCE≌△DCF，
∴∠BCE=∠DCF，
∵∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=90°-45°=45°，
∴∠GCF=∠GCE，
在△GCE和△GCF中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠GCF=∠GCE}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴△GCE≌△GCF（SAS），
∴EG=GF；

（2）設(shè)EG=x，
由（1）可知，BE+（6-AG）=EG，
即2+（6-AG）=x，
∴AG=8-x，
又∵AE=AB-BE=6-2=4，
∴在Rt△AEG中，AE²+AG²=EG²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
即EG=5．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定方法并證明得到全等的條件∠GCF=∠GCE是解題的關(guān)鍵，（2）求出各邊的長并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．