Question

【題目】如圖，在△ABC中，D，E分別是△ABC兩邊的中點(diǎn)，如果（可以是劣弧、優(yōu)弧或半圓）上的所有點(diǎn)都在△ABC的內(nèi)部或邊上，則稱為△ABC的中內(nèi)弧，例如，圖中是△ABC其中的某一條中內(nèi)弧．若在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)F（0，4），O（0，0），H（4，0），在△FOH中，M，N分別是FO，FH的中點(diǎn)，△FOH的中內(nèi)弧所在圓的圓心P的縱坐標(biāo)m的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】m≤1或m≥2．

【解析】

先判斷出點(diǎn)P在線段MN的垂直平分線上，再求出點(diǎn)M，N，Q的坐標(biāo)，再分點(diǎn)P在MN上方和下方，即可得出得出結(jié)論．

解：如圖，連接MN，

由垂徑定理可知，圓心P一定在線段MN的垂直平分線上，

作MN的垂直平分線QP，

∵M，N分別是FO，FH的中點(diǎn)，且F（0，4），O（0，0），H（4，0），

∴M（0，2），N（2，2），Q（1，2），

若圓心在線段MN上方時(shí)，

設(shè)P（1，m）由三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心P在線段MN上方射線QP上均可，

∴m≥2，

當(dāng)圓心在線段MN下方時(shí)，

∵OF＝OH，∠FOH＝90°

∴∠FHO＝45°，

∵MN∥OH，

∴∠FNM＝∠FHO＝45°，

作NG⊥FH交直線QP于G，QG＝NQ＝1，

根據(jù)三角形中內(nèi)弧的定義可知，圓心在點(diǎn)G的下方（含點(diǎn)G）的直線QP上時(shí)也符合要求；

∴m≤1，

綜上所述，m≤1或m≥2，

故答案為m≤1或m≥2．