Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（1，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于C（0，2），連接AC、BC．
（1）求拋物線解析式；
（2）BC的垂直平分線交拋物線于D、E兩點，求直線DE的解析式；
（3）若點P在拋物線的對稱軸上，且∠CPB=∠CAB，求出所有滿足條件的P點坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A（1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點坐標(biāo)代入拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）中，列方程組求a、b、c的值即可；
（2）如圖1，設(shè)BC的垂直平分線DE交BC于M，交x軸于N，連接CN，過點M作MF⊥x軸于F．可得△BMF∽△BCO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理可求直線DE上兩點M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法可求直線DE的解析式；
（3）①如圖3，設(shè)直線DE交拋物線對稱軸于點G，則點G（，2），以G為圓心，GA長為半徑畫圓交對稱軸于點P₁，以N為圓心，NB長為半徑的⊙N與⊙G關(guān)于直線BC對稱，⊙N交拋物線對稱軸于點P₂，從而確定P點坐標(biāo)．
解答：解：（1）由題意，得：              
解得：．                        
故這個拋物線的解析式為y=x²-x+2．     

（2）解法一：
如圖1，設(shè)BC的垂直平分線DE交BC于M，交x軸于N，連接CN，過點M作MF⊥x軸于F．
∴△BMF∽△BCO，
∴===．
∵B（4，0），C（0，2），
∴CO=2，BO=4，
∴MF=1，BF=2，
∴M（2，1）…（5分）
∵MN是BC的垂直平分線，
∴CN=BN，
設(shè)ON=x，則CN=BN=4-x，
在Rt△OCN中，CN²=OC²+ON²，
∴（4-x）²=2²+x²，
解得：x=，
∴N（，0）．     
設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，依題意，得：
，
解得：．
∴直線DE的解析式為y=2x-3．              
解法二：
如圖2，設(shè)BC的垂直平分線DE交BC于M，交x軸于N，連接CN，過點C作CF∥x軸交DE于F．
∵MN是BC的垂直平分線，
∴CN=BN，CM=BM．
設(shè)ON=x，則CN=BN=4-x，
在Rt△OCN中，CN²=OC²+ON²，
∴（4-x）²=2²+x²，
解得：x=，
∴N（，0）．     
∴BN=4-=．
∵CF∥x軸，
∴∠CFM=∠BNM．
∵∠CMF=∠BMN，
∴△CMF≌△BMN．
∴CF=BN．
∴F（，2）．                             
設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，依題意，得：
，
解得：．
∴直線DE的解析式為y=2x-3．   

（3）由（1）得拋物線解析式為y=x²-x+2，
∴它的對稱軸為直線x=．
①如圖3，設(shè)直線DE交拋物線對稱軸于點G，則點G（，2），
以G為圓心，GA長為半徑畫圓交對稱軸于點P₁，
則∠CP₁B=∠CAB．                 
GA=，
∴點P₁的坐標(biāo)為（，-）．             
②如圖4，由（2）得：BN=，
∴BN=BG，
∴G、N關(guān)于直線BC對稱．           
∴以N為圓心，NB長為半徑的⊙N與⊙G關(guān)于直線BC對稱．    
⊙N交拋物線對稱軸于點P₂，則∠CP₂B=∠CAB．               
設(shè)對稱軸與x軸交于點H，則NH=-=1．
∴HP₂==，
∴點P₂的坐標(biāo)為（，）．
綜上所述，當(dāng)P點的坐標(biāo)為（，-）或（，）時，∠CPB=∠CAB．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是由已知條件由待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及相似三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理的運用，綜合性較強，有一定的難度．