Question

如圖，點(diǎn)P為正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，EF垂直平分BP分別交BC、AD于E、F，GP⊥EP交AD于G，連接BG交EF于H，下列結(jié)論：
①BP=EF；②∠FHG=45°；③以BA為半徑⊙B與GP相切；④若G為AD的中點(diǎn)，則DP=2CP，
其中正確的結(jié)論是（　　）

• A、①②③④
• B、①②③
• C、①②④
• D、①③④

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：先作NF⊥BC于N，根據(jù)正方形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)證明△BCP≌△FNE就可以得出BP=EF，作BM⊥PG于M，GP⊥EP，通過證明兩次三角形全等就可以得出∠PBG=45°，從而求出∠FHG=45°，由切線的判定定理就可以求出以BA為半徑⊙B與GP相切，當(dāng)G為AD的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)AG=GD=x，CP=y，則GM=x，PM=y，PD=2x-y，運(yùn)用勾股定理就可以求出DP與CP的關(guān)系．

解答：解：（1）作NF⊥BC于N，
∴∠FNE=90°．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，AB=BC=CD=DA．
∴NF=AB，
∴NF=CB．
∵EF垂直平分BP，
∴∠2=∠3，∠2+∠NEF=90°．
∵∠1+∠NEF=90°，
∴∠1=∠2，
在△BCP和△FNE中，

∠2=∠1 BC=FN ∠C=∠FNE

，
∴△BCP≌△FNE，
∴BP=EF；故①正確；
作BM⊥PG于M，GP⊥EP，
∴BM∥EP，∠BMP=∠BMG=90°
∴∠3=∠5，∠BMP=∠C．
∴∠2=∠5
在△BPC和△BPM中

∠C=∠BMP ∠2=∠5 BP=BP

，
∴△BPC≌△BPM，
∴BC=AB=BM，
∴以BA為半徑⊙B與GP相切．故③正確；
在Rt△BMG和Rt△BAG中，

BG=BG BM=AB

，
∴Rt△BMG≌Rt△BAG，
∴∠6=∠7．
∵∠2+∠5+∠6+∠7=90°，
∴2∠5+2∠6=90°，
∴∠5+∠6=45°
即∠PBG=45°．
∴∠8=45°．
∴∠FHG=45°故②正確；
當(dāng)G為AD的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)AG=GD=x，CP=y，則GM=x，PM=y，PD=2x-y，
在Rt△PGD中由勾股定理，得
（x+y）²=x²+（2x-y）²，
∴y=

2

3

x，
即CP=

2

3

x
∴PD=2x-

2

3

x=

4

3

x，
∴DP=2CP故④正確．
∴正確的有：①②③④．
故選A．

點(diǎn)評：本題是一道圓的綜合試題考查了垂直平分線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)的而運(yùn)用，圓的切線的判定方法的運(yùn)用，勾股定理的性質(zhì)的運(yùn)用，在解答中運(yùn)用作輔助線制造全等三角形是關(guān)鍵．