Question

已知：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD邊上，AE＞DE，BE=BC，點(diǎn)O是線段CE的中點(diǎn)．
（1）試說明CE平分∠BED；
（2）若AB=3，BC=5，求BO的長；
（3）在直線AD上是否存在點(diǎn)F，使得以B、C、F、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？如果存在，試畫出點(diǎn)F的位置，并作適當(dāng)說明；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)AD∥BC，所以∠BCE=∠DEC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求解即可；
（2）利用勾股定理先求出AE、EC的長，在△BCO中根據(jù)勾股定理即可求出BO；
（3）因?yàn)猷忂匓E、BC相等，所以只要作出的是平行四邊形就可以，在ED延長線上可以，而在EA的延長線上不能作出以BC、BE為鄰邊的平行四邊形．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BCE=∠DEC，（1分）
又∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC．（2分）
∴∠BEC=∠DEC，
∴CE平分∠BED．（3分）

（2）在Rt△BAE中，AB=3，BE=BC=5，
∴AE=4，（4分）
在Rt△CDE中，CD=3，DE=1，
∴EC=

10

，（5分）
在Rt△BOC中，BC=5，CO=

10

2

，
∴BO=

BC2-CO2

=

52-( 10 2 )2

=

3 10

2

，（6分）
（注：此處用等面積法求BO亦可，此處寫

90

2

，不扣分）

（3）在直線AD上存在點(diǎn)F，使得以B、C、F、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．
延長ED至F，使得EF=BC，此時(shí)四邊形BCFE是菱形．（7分）
∵AE＞DE，∴BE＞CE，
因此在EA的延長線上不存在點(diǎn)F，使得四邊形BCEF為菱形．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要利用矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．